Номер 234, страница 77 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

234. Задана функция $y = kx + b$. При каких значениях $k$ истинно предложение:

1) «При любом $b$ графиком функции является прямая»;

2) «При любом $b \neq 0$ график функции параллелен оси $Ox$»;

3) «Существует $b$, при котором график функции совпадает с осью абсцисс»;

4) «Существует $b$, при котором график функции проходит через начало координат»?

Дана функция $y = kx + b$. Проанализируем каждое предложение, чтобы определить, при каких значениях $k$ оно будет истинным.

1) «При любом b графиком функции является прямая»

Уравнение $y = kx + b$ является уравнением линейной функции. Графиком любой линейной функции является прямая. Это определение не зависит от конкретных значений коэффициентов $k$ (угловой коэффициент) и $b$ (свободный член), пока они являются действительными числами. Следовательно, данное утверждение верно при любом значении $k$.
Ответ: при любом $k$.

2) «При любом b ≠ 0 график функции параллелен оси Ox»

График функции параллелен оси абсцисс (оси $Ox$), если он является горизонтальной прямой. Уравнение горизонтальной прямой имеет вид $y = c$, где $c$ – константа. Это означает, что значение $y$ не зависит от $x$. В уравнении $y = kx + b$ это возможно только в том случае, если коэффициент при $x$ равен нулю, то есть $k=0$.
Если $k=0$, функция принимает вид $y = b$. При любом значении $b \neq 0$ график этой функции (например, $y=2$ или $y=-5$) будет представлять собой прямую, параллельную оси $Ox$ и не совпадающую с ней. Если же $k \neq 0$, то график функции будет наклонной прямой, которая не параллельна оси $Ox$.
Следовательно, утверждение истинно только при $k=0$.
Ответ: $k=0$.

3) «Существует b, при котором график функции совпадает с осью абсцисс»

Ось абсцисс (ось $Ox$) задается уравнением $y=0$. Чтобы график функции $y = kx + b$ совпадал с осью абсцисс, необходимо, чтобы уравнение $kx + b = 0$ выполнялось для всех значений $x$.
Это тождество возможно только в том случае, когда оба коэффициента равны нулю: $k=0$ и $b=0$.
Условие гласит, что должен существовать такой $b$. Мы видим, что такой $b$ существует (это $b=0$), но только при условии, что $k$ также равен нулю. Если $k \neq 0$, то уравнение $kx+b=0$ имеет единственное решение $x = -b/k$, и график является наклонной прямой, пересекающей ось $Ox$ в одной точке, а не совпадающей с ней.
Следовательно, утверждение истинно только при $k=0$.
Ответ: $k=0$.

4) «Существует b, при котором график функции проходит через начало координат»?

Начало координат — это точка с координатами $(0, 0)$. Чтобы график функции $y = kx + b$ проходил через эту точку, её координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим $x=0$ и $y=0$ в уравнение:
$0 = k \cdot 0 + b$
$0 = 0 + b$
$b = 0$
Таким образом, если выбрать $b=0$, то функция примет вид $y = kx$. График этой функции всегда проходит через начало координат при любом значении коэффициента $k$. Так как условие требует лишь существования такого $b$ (и мы его нашли, $b=0$), то исходное утверждение верно для любого значения $k$.
Ответ: при любом $k$.