Номер 231, страница 77 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

231. Заменить многоточие словами «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно» таким образом, чтобы полученное утверждение было истинным:

1) чтобы хорошо ответить на уроке, ... прийти в школу;

2) для того чтобы сумма двух натуральных чисел делилась на 2, ... , чтобы эти числа были чётными;

3) для того чтобы число делилось на 9, ... , чтобы сумма его цифр делилась на 9;

4) для того чтобы числа $x_1$ и $x_2$ были корнями уравнения $x^2 + px + q = 0$, ... , чтобы $x_1 \cdot x_2 = q$.

1) Чтобы хорошо ответить на уроке, необходимо прийти в школу.
Разъяснение: Приход в школу — это обязательное, то есть необходимое условие для того, чтобы ответить на уроке. Нельзя ответить на уроке, не присутствуя на нём. Однако это условие не является достаточным, так как можно прийти в школу, но быть не готовым к ответу или просто не быть вызванным учителем. Таким образом, условие является необходимым, но не достаточным.
Ответ: необходимо.

2) Для того чтобы сумма двух натуральных чисел делилась на 2, достаточно, чтобы эти числа были чётными.
Разъяснение: Если оба числа чётные, то их можно представить в виде $2k$ и $2m$. Их сумма $2k + 2m = 2(k+m)$ всегда делится на 2. Следовательно, это условие является достаточным. Однако оно не является необходимым, потому что сумма двух нечётных чисел (например, $3+5=8$) тоже делится на 2. Таким образом, условие является достаточным, но не необходимым.
Ответ: достаточно.

3) Для того чтобы число делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9.
Разъяснение: Это точная формулировка признака делимости на 9. Он работает в обе стороны:

• Если число делится на 9, то сумма его цифр обязательно делится на 9 (условие необходимо).
• Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число обязательно делится на 9 (условие достаточно).

Поскольку условие является и необходимым, и достаточным, используется соответствующая формулировка.
Ответ: необходимо и достаточно.

4) Для того чтобы числа $x_1$ и $x_2$ были корнями уравнения $x^2 + px + q = 0$, необходимо, чтобы $x_1 \cdot x_2 = q$.
Разъяснение: Согласно теореме Виета, для того чтобы числа $x_1$ и $x_2$ были корнями приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$, должны выполняться два равенства: $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$. Выполнение условия $x_1 \cdot x_2 = q$ является необходимым, так как оно следует из того, что $x_1$ и $x_2$ — корни. Однако одного этого условия недостаточно, так как должно выполняться и второе равенство. Например, для уравнения $x^2 - 7x + 10 = 0$, где $q=10$, корнями являются числа 2 и 5. Их произведение равно 10. Но если мы возьмем числа 1 и 10, их произведение тоже равно 10, но они не являются корнями данного уравнения.
Ответ: необходимо.