Номер 225, страница 76 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

225. Найти множество истинности предложения:

1) n — натуральный делитель числа 12;

2) k — натуральный делитель числа 10;

3) $-5 < x < 1, x \in \mathbb{Z};$

4) $\begin{cases} x^2 - 2x + 1 \leq 0, \\ x > 0; \end{cases}$

5) $\left[ \begin{aligned} x &= -2, \\ x &= 3; \end{aligned} \right.$

6) $\left[ \begin{aligned} 2x^2 - x + 3 &= 0, \\ -x + 1 &= 0. \end{aligned} \right.$

1) n — натуральный делитель числа 12;

Множество истинности данного предложения — это множество всех натуральных чисел $n$, на которые число 12 делится без остатка. Натуральные числа — это целые положительные числа. Найдем все такие делители, перебирая числа от 1 до 12:

$12 \div 1 = 12$

$12 \div 2 = 6$

$12 \div 3 = 4$

$12 \div 4 = 3$

$12 \div 6 = 2$

$12 \div 12 = 1$

Таким образом, натуральными делителями числа 12 являются числа 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Ответ: $\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$

2) k — натуральный делитель числа 10;

Множество истинности этого предложения — это множество всех натуральных чисел $k$, которые являются делителями числа 10. Найдем все натуральные делители числа 10:

$10 \div 1 = 10$

$10 \div 2 = 5$

$10 \div 5 = 2$

$10 \div 10 = 1$

Натуральными делителями числа 10 являются числа 1, 2, 5, 10.

Ответ: $\{1, 2, 5, 10\}$

3) -5 < x < 1, x ∈ Z;

Данное предложение определяет множество всех целых чисел $x$, которые находятся в интервале от -5 до 1, не включая концы интервала. Множество целых чисел обозначается как $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$. Выберем все целые числа, удовлетворяющие строгому неравенству $-5 < x < 1$.

Эти числа: -4, -3, -2, -1, 0.

Ответ: $\{-4, -3, -2, -1, 0\}$

4) { x² - 2x + 1 ≤ 0, x > 0;

Это система из двух условий, которые должны выполняться одновременно. Фигурная скобка обозначает логическое "И".

Рассмотрим первое неравенство: $x^2 - 2x + 1 \le 0$. Левую часть можно свернуть по формуле квадрата разности: $(x-1)^2 \le 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x-1)^2 \ge 0$ для любого $x$. Следовательно, неравенство $(x-1)^2 \le 0$ выполняется только в одном случае, когда $(x-1)^2 = 0$. Это дает нам единственное решение: $x - 1 = 0$, откуда $x=1$.

Теперь проверим, удовлетворяет ли это решение второму условию системы: $x > 0$. Подставляя $x=1$, получаем $1 > 0$, что является истинным. Таким образом, единственное значение, удовлетворяющее системе, это $x=1$.

Ответ: $\{1\}$

5) [ x = -2, x = 3;

Квадратная скобка в данном контексте обозначает совокупность, или логическое "ИЛИ". Это означает, что предложение истинно, если $x$ равен -2, или если $x$ равен 3. Множество истинности представляет собой набор всех значений, для которых предложение верно.

Ответ: $\{-2, 3\}$

6) [ 2x² - x + 3 = 0, -x + 1 = 0.

Это совокупность двух уравнений, соединенных логическим "ИЛИ". Множество истинности — это объединение множеств решений каждого уравнения.

Решим первое уравнение: $2x^2 - x + 3 = 0$. Найдем дискриминант квадратного уравнения $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 - 24 = -23$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), у этого квадратного уравнения нет действительных корней. Множество его решений — пустое множество $\emptyset$.

Решим второе уравнение: $-x + 1 = 0$. Отсюда следует, что $x=1$.

Множество истинности всей совокупности является объединением множеств решений обоих уравнений: $\emptyset \cup \{1\} = \{1\}$.

Ответ: $\{1\}$