Номер 14, страница 76 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

14. Что называют необходимым условием некоторого предложения?

В логике и математике необходимым условием для некоторого предложения (или утверждения) A называют другое предложение B, которое является логическим следствием предложения A. Это означает, что если утверждение A истинно, то утверждение B также обязательно должно быть истинным.

Иными словами, невозможно, чтобы A было истинным, а B — ложным. Если условие B не выполняется (оно ложно), то и утверждение A гарантированно будет ложным.

Эта взаимосвязь формально записывается с помощью знака импликации: $A \implies B$. Эта формула читается как:

• «Из A следует B»
• «Если A, то B»
• «A влечет B»

В этой импликации предложение B является необходимым условием для A, а предложение A — достаточным условием для B.

Рассмотрим несколько примеров для наглядности:

Пример 1: Делимость чисел

• Утверждение A: «Число делится на 6».
• Условие B: «Число делится на 2 (то есть является четным)».

Здесь делимость на 2 (B) — это необходимое условие для делимости на 6 (A). Если число делится на 6 (например, 12, 18, 30), то оно обязательно будет четным. Если число нечетное (условие B ложно), то оно точно не может делиться на 6 (утверждение A ложно). Запись: (Число делится на 6) $\implies$ (Число делится на 2).

Пример 2: Геометрия

• Утверждение A: «Данная фигура — квадрат».
• Условие B: «У данной фигуры равны все стороны».

Равенство всех сторон (B) — необходимое условие для того, чтобы фигура была квадратом (A). Если фигура является квадратом, то все ее стороны по определению равны. Если у фигуры стороны не равны, она не может быть квадратом. Однако это условие не является достаточным, так как ромб тоже имеет равные стороны, но не всегда является квадратом.

Пример 3: Повседневная жизнь

• Утверждение A: «Сегодня 1 января».
• Условие B: «Сейчас наступил новый год».

Наступление нового года (B) — необходимое условие для того, чтобы сегодня было 1 января (A). Невозможно, чтобы было 1 января, но при этом новый год еще не наступил.

Ответ: Необходимым условием для предложения A называют такое предложение B, которое обязательно истинно, если истинно A. Это выражается логической формулой $A \implies B$ (из A следует B).