Номер 10, страница 76 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

10. Как можно опровергнуть высказывание $(\forall x)p(x)$?

Высказывание $(\forall x)p(x)$ является утверждением с квантором всеобщности. Оно читается как "для любого (или для всякого) элемента $x$ из некоторой предметной области выполняется свойство $p(x)$". Это означает, что свойство $p(x)$ должно быть истинным для абсолютно каждого элемента $x$ без исключений.

Опровергнуть высказывание — значит доказать, что оно ложно. Чтобы доказать ложность утверждения $(\forall x)p(x)$, необходимо показать, что его отрицание истинно.

В логике предикатов существует правило для построения отрицания утверждений с кванторами, известное как одно из законов де Моргана для кванторов. Отрицание высказывания с квантором всеобщности эквивалентно высказыванию с квантором существования, применяемым к отрицанию предиката:

$\neg (\forall x)p(x) \equiv (\exists x)\neg p(x)$

Высказывание $(\exists x)\neg p(x)$ читается как "существует (или найдётся) такой элемент $x$, для которого свойство $p(x)$ не выполняется (является ложным)".

Таким образом, для опровержения универсального высказывания $(\forall x)p(x)$ достаточно найти хотя бы один-единственный элемент в рассматриваемой области, для которого свойство $p(x)$ неверно. Такой элемент называется контрпримером.

Пример:

Рассмотрим высказывание: "Все простые числа являются нечётными".

1. Формализуем его. Пусть предметная область — это множество простых чисел $P = \{2, 3, 5, 7, 11, ...\}$. Пусть предикат $p(x)$ означает "$x$ — нечётное число". Тогда наше высказывание можно записать в виде $(\forall x \in P)p(x)$.
2. Чтобы его опровергнуть, нам нужно доказать истинность утверждения $(\exists x \in P)\neg p(x)$. То есть нам нужно показать, что "существует такое простое число $x$, которое не является нечётным (т.е. является чётным)".
3. Найдём такой контрпример. Возьмём число 2. Число 2 является простым, так как делится только на 1 и на само себя. Следовательно, $2 \in P$.
4. Проверим свойство $p(2)$. Является ли 2 нечётным числом? Нет, 2 — чётное число. Значит, $\neg p(2)$ истинно.
5. Мы нашли элемент (число 2), который принадлежит предметной области (простые числа) и для которого свойство ("быть нечётным") не выполняется. Это и есть контрпример.

Следовательно, наличие всего одного контрпримера (числа 2) полностью опровергает исходное общее утверждение "Все простые числа являются нечётными".

Ответ: Чтобы опровергнуть высказывание $(\forall x)p(x)$, необходимо найти контрпример, то есть указать хотя бы один конкретный элемент $x_0$ из области определения, для которого предикат $p(x_0)$ является ложным. Это доказывает истинность утверждения $(\exists x)\neg p(x)$, которое является отрицанием исходного высказывания.