Номер 5, страница 76 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

5. Что называется множеством истинности предложения $p(x)$?

В математической логике и теории множеств, выражение $p(x)$ называется предикатом или пропозициональной функцией. Это утверждение, содержащее одну или несколько переменных (в данном случае, переменную $x$), которое становится истинным или ложным высказыванием (пропозицией) при подстановке вместо переменной конкретного значения из определённой области, называемой универсальным множеством или областью определения предиката (обозначим его $U$).

Множеством истинности предиката $p(x)$ называется подмножество универсального множества $U$, состоящее из всех тех и только тех элементов, при подстановке которых вместо переменной $x$ предикат $p(x)$ обращается в истинное высказывание.

Формально, если $T_p$ — это множество истинности предиката $p(x)$ на универсальном множестве $U$, то его можно определить следующим образом: $$ T_p = \{x \in U \mid p(x) \text{ истинно} \} $$ Это означает, что мы собираем в множество $T_p$ все элементы $x$ из $U$, для которых условие $p(x)$ выполняется.

Пример 1:

Пусть дан предикат $p(x)$: "$x$ — чётное число".
Пусть универсальное множество $U$ — это множество натуральных чисел от 1 до 10, то есть $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$.
Чтобы найти множество истинности, мы должны проверить каждый элемент из $U$:

• $p(1)$: "1 — чётное число" (ложно)
• $p(2)$: "2 — чётное число" (истинно)
• $p(3)$: "3 — чётное число" (ложно)
• $p(4)$: "4 — чётное число" (истинно)
• ... и так далее.

Элементы, для которых предикат $p(x)$ истинен, это 2, 4, 6, 8, 10.
Следовательно, множество истинности $T_p$ для данного предиката на данном универсальном множестве будет: $$ T_p = \{2, 4, 6, 8, 10\} $$

Пример 2:

Пусть дан предикат $q(x)$: "$x^2 - 9 = 0$".
Универсальное множество $U$ — множество всех целых чисел, $U = \mathbb{Z}$.
Решая уравнение $x^2 - 9 = 0$, мы получаем $x^2 = 9$, откуда $x = 3$ или $x = -3$. Оба этих значения принадлежат множеству целых чисел $\mathbb{Z}$.
Таким образом, множество истинности предиката $q(x)$ на множестве $\mathbb{Z}$ есть: $$ T_q = \{-3, 3\} $$ Если бы универсальное множество было множеством натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$, то множество истинности было бы $T_q = \{3\}$, так как $-3$ не является натуральным числом. Это подчеркивает важность указания универсального множества.

Ответ: Множеством истинности предложения (предиката) $p(x)$, заданного на универсальном множестве $U$, называется множество всех тех элементов $x$ из $U$, для которых $p(x)$ является истинным высказыванием.