Номер 223, страница 70 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

223. Решить совокупность неравенств:

1) $\left[ \begin{array}{l} x^2 - 49 < 0, \\ 9 - x^2 \ge 0; \end{array} \right.$

2) $\left[ \begin{array}{l} 2x - 5 \ge x + 1, \\ x^2 - 9x + 14 < 0. \end{array} \right.$

1)

Решим каждое неравенство данной совокупности по отдельности. Решением совокупности является объединение решений этих неравенств.

Решим первое неравенство: $x^2 - 49 < 0$.
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x - 7)(x + 7) < 0$.
Корнями уравнения $(x - 7)(x + 7) = 0$ являются $x_1 = -7$ и $x_2 = 7$.
Графиком функции $y = x^2 - 49$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции отрицательны на интервале между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-7, 7)$.

Решим второе неравенство: $9 - x^2 \ge 0$.
Перепишем его в виде $x^2 - 9 \le 0$.
Разложим левую часть на множители: $(x - 3)(x + 3) \le 0$.
Корнями уравнения $(x - 3)(x + 3) = 0$ являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.
Графиком функции $y = x^2 - 9$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, значения функции не положительны на отрезке между корнями (включая сами корни).
Решение второго неравенства: $x \in [-3, 3]$.

Теперь найдем объединение множеств решений обоих неравенств: $(-7, 7) \cup [-3, 3]$.
Так как отрезок $[-3, 3]$ полностью содержится внутри интервала $(-7, 7)$, их объединение равно большему из этих множеств, то есть интервалу $(-7, 7)$.

Ответ: $x \in (-7, 7)$.

2)

Решим каждое неравенство данной совокупности по отдельности. Решением совокупности является объединение решений этих неравенств.

Решим первое неравенство: $2x - 5 \ge x + 1$.
Это линейное неравенство. Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а постоянные члены — в правую:
$2x - x \ge 1 + 5$
$x \ge 6$
Решение первого неравенства: $x \in [6, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 9x + 14 < 0$.
Это квадратичное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 9x + 14 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 9, а их произведение равно 14. Отсюда находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 7$.
Неравенство можно записать в виде $(x - 2)(x - 7) < 0$.
Графиком функции $y = x^2 - 9x + 14$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, значения функции отрицательны на интервале между корнями.
Решение второго неравенства: $x \in (2, 7)$.

Теперь найдем объединение множеств решений обоих неравенств: $[6, +\infty) \cup (2, 7)$.
Объединение этих множеств включает все числа, которые принадлежат хотя бы одному из них. Множество $(2, 7)$ покрывает интервал от 2 до 7. Множество $[6, +\infty)$ покрывает интервал от 6 до бесконечности. Вместе они покрывают интервал от 2 до бесконечности, не включая 2.
Итоговое решение: $x \in (2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (2, +\infty)$.