Номер 219, страница 70 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

219. Пусть $D_1$ — множество всех квадратов, $D_2$ — множество всех прямоугольников, $D_3$ — множество всех ромбов, $D_4$ — множество всех параллелограммов. Найти множества:

1) $D_1 \cap D_2$;

2) $D_1 \cup D_2$;

3) $D_2 \cap D_3$;

4) $D_3 \cap D_4$;

5) $D_3 \cup D_4$;

6) $D_2 \cup D_1 \cup D_3 \cup D_4$;

7) $D_4 \cap D_3 \cap D_2 \cap D_1$.

Для решения задачи сначала определим взаимосвязи между заданными множествами геометрических фигур:

• $D_1$ — множество всех квадратов.
• $D_2$ — множество всех прямоугольников.
• $D_3$ — множество всех ромбов.
• $D_4$ — множество всех параллелограммов.

Исходя из определений этих фигур в геометрии, можно установить следующие отношения включения:

• Каждый квадрат является частным случаем прямоугольника (прямоугольник с равными сторонами), поэтому множество квадратов является подмножеством множества прямоугольников: $D_1 \subset D_2$.
• Каждый квадрат является частным случаем ромба (ромб с прямыми углами), поэтому множество квадратов является подмножеством множества ромбов: $D_1 \subset D_3$.
• Каждый прямоугольник является параллелограммом (с прямыми углами), поэтому $D_2 \subset D_4$.
• Каждый ромб является параллелограммом (с равными сторонами), поэтому $D_3 \subset D_4$.
• Фигура, являющаяся одновременно и прямоугольником, и ромбом, по определению есть квадрат. Следовательно, пересечение множеств прямоугольников и ромбов есть множество квадратов: $D_1 = D_2 \cap D_3$.

Теперь найдем требуемые множества.

1) $D_1 \cap D_2$

Пересечение множеств $D_1$ (квадраты) и $D_2$ (прямоугольники) содержит элементы, которые принадлежат обоим множествам. То есть, это фигуры, которые являются и квадратами, и прямоугольниками. Поскольку любой квадрат по определению является прямоугольником, все элементы множества $D_1$ содержатся в множестве $D_2$ ($D_1 \subset D_2$). Пересечением множества и его подмножества является само подмножество.

Ответ: $D_1$ (множество всех квадратов).

2) $D_1 \cup D_2$

Объединение множеств $D_1$ (квадраты) и $D_2$ (прямоугольники) содержит элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Так как множество квадратов является подмножеством множества прямоугольников ($D_1 \subset D_2$), их объединение будет равно большему множеству, то есть множеству всех прямоугольников.

Ответ: $D_2$ (множество всех прямоугольников).

3) $D_2 \cap D_3$

Пересечение множеств $D_2$ (прямоугольники) и $D_3$ (ромбы) содержит фигуры, которые являются одновременно и прямоугольниками (все углы прямые), и ромбами (все стороны равны). Такая фигура по определению является квадратом. Следовательно, пересечение этих множеств есть множество всех квадратов.

Ответ: $D_1$ (множество всех квадратов).

4) $D_3 \cap D_4$

Пересечение множеств $D_3$ (ромбы) и $D_4$ (параллелограммы) содержит фигуры, которые являются и ромбами, и параллелограммами. По определению, каждый ромб является параллелограммом. Таким образом, множество ромбов является подмножеством множества параллелограммов ($D_3 \subset D_4$). Их пересечение будет равно подмножеству.

Ответ: $D_3$ (множество всех ромбов).

5) $D_3 \cup D_4$

Объединение множеств $D_3$ (ромбы) и $D_4$ (параллелограммы) содержит фигуры, которые являются либо ромбами, либо параллелограммами. Поскольку любой ромб — это параллелограмм ($D_3 \subset D_4$), объединение этих множеств будет равно большему из них, то есть множеству всех параллелограммов.

Ответ: $D_4$ (множество всех параллелограммов).

6) $D_2 \cup D_1 \cup D_3 \cup D_4$

Требуется найти объединение всех четырех множеств. Мы установили, что $D_1 \subset D_2 \subset D_4$ и $D_1 \subset D_3 \subset D_4$. Это означает, что множества $D_1$, $D_2$ и $D_3$ являются подмножествами множества $D_4$. При объединении множества с его подмножествами результатом является само это (наибольшее) множество.

Ответ: $D_4$ (множество всех параллелограммов).

7) $D_4 \cap D_3 \cap D_2 \cap D_1$

Требуется найти пересечение всех четырех множеств. Это множество фигур, которые одновременно являются параллелограммами, ромбами, прямоугольниками и квадратами. Поскольку множество квадратов $D_1$ является подмножеством всех остальных множеств ($D_1 \subset D_2$, $D_1 \subset D_3$, $D_1 \subset D_4$), то пересечением всех этих множеств будет самое маленькое (наиболее частное) из них, то есть множество квадратов.

Ответ: $D_1$ (множество всех квадратов).