Номер 18, страница 76 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

18. В чём состоит суть доказательства методом от противного?

Доказательство методом от противного, также известное как reductio ad absurdum (сведение к абсурду), — это косвенный метод доказательства, который широко используется в математике и логике. Его суть заключается в том, чтобы доказать истинность утверждения через доказательство ложности его отрицания.

Алгоритм доказательства методом от противного состоит из следующих шагов:

1. Формулировка тезиса. Чётко определяется утверждение $P$, которое необходимо доказать.
2. Выдвижение антитезиса (предположение от противного). Делается предположение, что утверждение $P$ на самом деле ложно. То есть, мы временно принимаем за истину его отрицание — $\neg P$.
3. Логический вывод. Исходя из предположения $\neg P$ как из истинного, строится цепочка логических рассуждений. Используя аксиомы, определения и ранее доказанные теоремы, из $\neg P$ выводится некое следствие.
4. Получение противоречия. В результате рассуждений мы приходим к выводу, который является логически невозможным, то есть к противоречию. Противоречие может проявляться по-разному:
   • Прямое противоречие вида $Q \land \neg Q$ (например, "число $x$ чётное и нечётное одновременно").
   • Противоречие с исходным предположением $\neg P$.
   • Противоречие с какой-либо известной аксиомой или ранее доказанной теоремой (например, с тем, что параллельные прямые не пересекаются).
5. Заключение. Поскольку предположение $\neg P$ с помощью верных логических шагов привело нас к абсурду (противоречию), делается вывод, что это предположение было неверным. Согласно закону исключённого третьего, если утверждение $\neg P$ ложно, то его отрицание, то есть исходное утверждение $P$, обязательно истинно.

Рассмотрим классический пример применения этого метода.

Доказательство иррациональности числа $\sqrt{2}$

Тезис ($P$): Число $\sqrt{2}$ является иррациональным.

Доказательство:

1. Предположение от противного ($\neg P$): Допустим, что число $\sqrt{2}$ является рациональным.
2. Логический вывод: Если число рационально, то его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — целые числа, $b \neq 0$, и у них нет общих делителей, кроме 1 (дробь несократима).

   Итак, пусть $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$.

   Возведём обе части равенства в квадрат: $2 = \left(\frac{a}{b}\right)^2 = \frac{a^2}{b^2}$.

   Отсюда получаем: $a^2 = 2b^2$.

   Это равенство показывает, что $a^2$ является чётным числом (так как оно равно произведению 2 на целое число $b^2$).

   Если квадрат целого числа ($a^2$) чётный, то и само число ($a$) тоже должно быть чётным. (Потому что квадрат нечётного числа всегда нечётен: $(2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 = 2(2k^2+2k)+1$).

   Раз $a$ — чётное число, его можно представить в виде $a = 2k$ для некоторого целого числа $k$.

   Подставим $a = 2k$ в наше равенство $a^2 = 2b^2$:

   $(2k)^2 = 2b^2$

   $4k^2 = 2b^2$

   Разделим обе части на 2: $b^2 = 2k^2$.

   Это новое равенство показывает, что $b^2$ также является чётным числом, а значит, и само число $b$ является чётным.

3. Получение противоречия: Мы пришли к выводу, что и число $a$, и число $b$ являются чётными. Это означает, что они оба делятся на 2. Но это прямо противоречит нашему первоначальному условию, что дробь $\frac{a}{b}$ является несократимой (т.е. $a$ и $b$ не имеют общих делителей, кроме 1).
4. Заключение: Наше исходное предположение о том, что $\sqrt{2}$ — рациональное число, привело к логическому противоречию. Следовательно, это предположение ложно. Значит, истинно обратное утверждение: число $\sqrt{2}$ является иррациональным.

Ответ: Суть доказательства методом от противного состоит в том, чтобы для доказательства истинности некоторого утверждения $P$ временно предположить, что оно ложно (т.е. истинно его отрицание $\neg P$). Затем из этого предположения путем строгих логических рассуждений выводится следствие, которое является абсурдным или противоречит известным фактам. Поскольку из истинной предпосылки нельзя получить ложное следствие с помощью верных рассуждений, делается вывод, что предпосылка $\neg P$ была ложной. Следовательно, исходное утверждение $P$ является истинным.