Номер 227, страница 76 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

227. Для каждого из предложений $p(x)$:

1) $\sqrt{x} = 5$; 2) $|x| > -2$; 3) $x^2 - 3 = 0$; 4) $x^2 + 3 > 0$

определить, истинным или ложным является высказывание $(\forall x)p(x)$; $(\exists x)p(x)$.

В данной задаче мы будем определять истинность высказываний с кванторами всеобщности $(\forall x)$ («для любого $x$») и существования $(\exists x)$ («существует такой $x$»). В качестве области определения переменной $x$ будем рассматривать множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$, если иное не следует из самого выражения.

Для этого предложения $p(x)$ область определения переменной $x$ ограничена условием $x \ge 0$, так как корень квадратный из отрицательного числа не определен в множестве действительных чисел.

Высказывание $(\forall x)p(x)$ утверждает, что для любого неотрицательного числа $x$ выполняется равенство $\sqrt{x}=5$. Это высказывание ложно. Чтобы его опровергнуть, достаточно найти хотя бы один контрпример. Например, возьмем $x=4$. Тогда $\sqrt{4} = 2$, что не равно 5.

Высказывание $(\exists x)p(x)$ утверждает, что существует хотя бы одно неотрицательное число $x$, для которого выполняется равенство $\sqrt{x}=5$. Это высказывание истинно. Решив уравнение $\sqrt{x}=5$ путем возведения обеих частей в квадрат, мы получаем $x=25$. Число 25 является неотрицательным и удовлетворяет уравнению, так как $\sqrt{25}=5$.

Ответ: высказывание $(\forall x)p(x)$ ложно, высказывание $(\exists x)p(x)$ истинно.

Предложение $p(x)$ определено для всех действительных чисел $x \in \mathbb{R}$.

Высказывание $(\forall x)p(x)$ утверждает, что для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $|x| > -2$. Это высказывание истинно. По определению, модуль любого действительного числа $|x|$ является неотрицательным, т.е. $|x| \ge 0$. Любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа, следовательно, $|x| > -2$ верно для всех $x \in \mathbb{R}$.

Высказывание $(\exists x)p(x)$ утверждает, что существует хотя бы одно действительное число $x$, для которого $|x| > -2$. Это высказывание также истинно. Если утверждение верно для всех $x$, то оно, очевидно, верно и хотя бы для одного. Например, для $x=1$, $|1| = 1$, что больше -2.

Ответ: высказывание $(\forall x)p(x)$ истинно, высказывание $(\exists x)p(x)$ истинно.

Предложение $p(x)$ определено для всех действительных чисел $x \in \mathbb{R}$.

Высказывание $(\forall x)p(x)$ утверждает, что для любого действительного числа $x$ выполняется равенство $x^2 - 3 = 0$. Это высказывание ложно. Достаточно привести контрпример: для $x=1$, получаем $1^2 - 3 = -2 \ne 0$.

Высказывание $(\exists x)p(x)$ утверждает, что существует хотя бы одно действительное число $x$, для которого $x^2 - 3 = 0$. Это высказывание истинно. Решим уравнение $x^2 - 3 = 0 \implies x^2=3$. Корнями этого уравнения являются $x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$. Поскольку существуют действительные корни, высказывание истинно.

Ответ: высказывание $(\forall x)p(x)$ ложно, высказывание $(\exists x)p(x)$ истинно.

Предложение $p(x)$ определено для всех действительных чисел $x \in \mathbb{R}$.

Высказывание $(\forall x)p(x)$ утверждает, что для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $x^2 + 3 > 0$. Это высказывание истинно. Для любого действительного $x$ его квадрат $x^2$ неотрицателен: $x^2 \ge 0$. Сумма неотрицательного числа и положительного числа 3 всегда будет положительна: $x^2 + 3 \ge 0 + 3 = 3$, а $3 > 0$. Таким образом, неравенство $x^2+3 > 0$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

Высказывание $(\exists x)p(x)$ утверждает, что существует хотя бы одно действительное число $x$, для которого $x^2 + 3 > 0$. Это высказывание также истинно. Так как утверждение истинно для всех $x$, оно истинно и для некоторого $x$. Например, для $x=0$, $0^2+3=3 > 0$.

Ответ: высказывание $(\forall x)p(x)$ истинно, высказывание $(\exists x)p(x)$ истинно.