Номер 229, страница 77 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

229. Выделить условие и заключение теоремы:

1) если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3;

2) каждый член арифметической прогрессии (начиная со второго) равен полусумме соседних с ним членов. $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$. Сформулировать теорему, обратную данной.

1) Рассмотрим теорему: «если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3».

Эта теорема уже сформулирована в виде «если А, то В», где А — это условие, а В — заключение.

• Условие (А): сумма цифр числа делится на 3.
• Заключение (В): само число делится на 3.

Теорема, обратная данной, строится по схеме «если В, то А».

Обратная теорема: если число делится на 3, то и сумма его цифр делится на 3. (Эта обратная теорема также является верной).

Ответ: Условие: «сумма цифр числа делится на 3». Заключение: «само число делится на 3». Обратная теорема: «если число делится на 3, то сумма его цифр делится на 3».

2) Рассмотрим теорему: «каждый член арифметической прогрессии (начиная со второго) равен полусумме соседних с ним членов».

Для того чтобы выделить условие и заключение, переформулируем эту теорему в стандартную форму «если А, то В».

«Если числовая последовательность является арифметической прогрессией, то каждый ее член (начиная со второго) равен полусумме соседних с ним членов».

• Условие (А): числовая последовательность является арифметической прогрессией.
• Заключение (В): каждый член последовательности (начиная со второго) равен полусумме соседних с ним членов. Если обозначить члены последовательности как $a_n$, то заключение можно записать формулой: $a_k = \frac{a_{k-1} + a_{k+1}}{2}$ для всех $k \ge 2$.

Теорема, обратная данной, строится по схеме «если В, то А».

Обратная теорема: если в числовой последовательности каждый член (начиная со второго) равен полусумме соседних с ним членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией. (Эта обратная теорема также является верной, так как из условия $a_k = \frac{a_{k-1} + a_{k+1}}{2}$ следует, что $a_{k+1} - a_k = a_k - a_{k-1}$, что является определением арифметической прогрессии).

Ответ: Условие: «числовая последовательность является арифметической прогрессией». Заключение: «каждый член последовательности (начиная со второго) равен полусумме соседних с ним членов», то есть $a_k = \frac{a_{k-1} + a_{k+1}}{2}$ для $k \ge 2$. Обратная теорема: «если в числовой последовательности каждый член, начиная со второго, равен полусумме соседних с ним членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией».