Номер 244, страница 84 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

244. Найти последнюю цифру числа $12^{39} + 13^{41}$.

Для того чтобы найти последнюю цифру числа $12^{39} + 13^{41}$, мы найдем последнюю цифру каждого слагаемого в отдельности и затем найдем последнюю цифру их суммы. Поиск последней цифры числа эквивалентен нахождению остатка от деления этого числа на 10.

Сначала найдем последнюю цифру числа $12^{39}$. Она совпадает с последней цифрой числа $2^{39}$, так как последняя цифра степени определяется последней цифрой ее основания. Рассмотрим последовательность последних цифр степеней числа 2:
$2^1$ оканчивается на 2;
$2^2$ оканчивается на 4;
$2^3$ оканчивается на 8;
$2^4$ оканчивается на 6;
$2^5$ оканчивается на 2.
Видно, что последние цифры повторяются с циклом длиной 4: (2, 4, 8, 6). Чтобы определить последнюю цифру для $2^{39}$, нужно найти остаток от деления показателя степени 39 на длину цикла 4:
$39 = 4 \times 9 + 3$.
Остаток равен 3. Это означает, что последняя цифра числа $2^{39}$ будет такой же, как и третья цифра в цикле, то есть как у $2^3$. Последняя цифра $2^3=8$ - это 8. Следовательно, число $12^{39}$ оканчивается на 8.

Теперь найдем последнюю цифру числа $13^{41}$. Она совпадает с последней цифрой числа $3^{41}$. Рассмотрим последовательность последних цифр степеней числа 3:
$3^1$ оканчивается на 3;
$3^2$ оканчивается на 9;
$3^3$ оканчивается на 7;
$3^4$ оканчивается на 1;
$3^5$ оканчивается на 3.
Здесь последние цифры также повторяются с циклом длиной 4: (3, 9, 7, 1). Чтобы определить последнюю цифру для $3^{41}$, найдем остаток от деления показателя степени 41 на 4:
$41 = 4 \times 10 + 1$.
Остаток равен 1. Это означает, что последняя цифра числа $3^{41}$ будет такой же, как и первая цифра в цикле, то есть как у $3^1$. Последняя цифра $3^1=3$ - это 3. Следовательно, число $13^{41}$ оканчивается на 3.

Наконец, чтобы найти последнюю цифру суммы $12^{39} + 13^{41}$, нужно сложить последние цифры каждого слагаемого: $8 + 3 = 11$.
Последняя цифра числа 11 - это 1.
Таким образом, последняя цифра числа $12^{39} + 13^{41}$ равна 1.

Ответ: 1