Номер 251, страница 84 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

251. Найти все целые $n$, при которых дробь $a = \frac{n^4 - n^3 + 2n^2}{n^2 + 1}$ будет целым числом.

Для того чтобы дробь $a = \frac{n^4 - n^3 + 2n^2}{n^2 + 1}$ была целым числом, необходимо, чтобы числитель делился на знаменатель нацело. Чтобы упростить выражение, выделим целую часть путем деления многочлена на многочлен (например, "уголком" или через преобразования).

Преобразуем числитель:

$n^4 - n^3 + 2n^2 = n^4 + n^2 - n^3 - n + n^2 + n = n^2(n^2+1) - n(n^2+1) + (n^2+1) - 1 + n$

Сгруппируем слагаемые:

$ (n^2(n^2+1) - n(n^2+1) + 1(n^2+1)) + (n-1) = (n^2-n+1)(n^2+1) + (n-1) $

Теперь подставим это выражение обратно в дробь:

$a = \frac{(n^2-n+1)(n^2+1) + (n-1)}{n^2+1} = \frac{(n^2-n+1)(n^2+1)}{n^2+1} + \frac{n-1}{n^2+1}$

$a = n^2 - n + 1 + \frac{n-1}{n^2+1}$

Поскольку $n$ — целое число по условию, выражение $n^2 - n + 1$ также всегда будет целым числом. Следовательно, для того чтобы значение $a$ было целым, необходимо и достаточно, чтобы дробная часть $\frac{n-1}{n^2+1}$ также была целым числом.

Пусть $k = \frac{n-1}{n^2+1}$, где $k$ — целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Рассмотрим, при каких целых $n$ это возможно.

1. Если числитель $n-1=0$, то $n=1$. В этом случае $k = \frac{0}{1^2+1} = 0$, что является целым числом. Значит, $n=1$ — одно из решений.

2. Если $n \neq 1$, то для того, чтобы дробь была целым числом (отличным от нуля), модуль ее числителя должен быть не меньше модуля знаменателя.

$|n-1| \ge |n^2+1|$

Так как $n^2 \ge 0$, то знаменатель $n^2+1$ всегда положителен. Неравенство принимает вид:

$|n-1| \ge n^2+1$

Рассмотрим два случая раскрытия модуля:

а) $n-1 > 0$, то есть $n > 1$.
$n-1 \ge n^2+1$
$0 \ge n^2 - n + 2$
Найдем дискриминант квадратного трехчлена $n^2 - n + 2$: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.
Поскольку $D < 0$ и старший коэффициент ($1$) положителен, парабола $y=n^2-n+2$ полностью лежит выше оси абсцисс, то есть $n^2 - n + 2 > 0$ при любых $n$. Следовательно, неравенство $0 \ge n^2 - n + 2$ не имеет решений.

б) $n-1 < 0$, то есть $n < 1$.
$|n-1| = -(n-1) = 1-n$.
$1-n \ge n^2+1$
$0 \ge n^2+n$
$n(n+1) \le 0$
Решением этого неравенства является промежуток $-1 \le n \le 0$. Поскольку $n$ — целое число, возможные значения: $n=-1$ и $n=0$.

Таким образом, мы нашли все возможные целые значения $n$: $-1, 0, 1$.

Проверим эти значения:
При $n=-1$: $a = \frac{(-1)^4 - (-1)^3 + 2(-1)^2}{(-1)^2+1} = \frac{1 - (-1) + 2}{1+1} = \frac{4}{2} = 2$. (Целое)
При $n=0$: $a = \frac{0-0+0}{0+1} = 0$. (Целое)
При $n=1$: $a = \frac{1^4 - 1^3 + 2(1^2)}{1^2+1} = \frac{1 - 1 + 2}{1+1} = \frac{2}{2} = 1$. (Целое)

Ответ: $-1, 0, 1$.