Номер 255, страница 86 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

255. Доказать, что сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится на 9.

Для доказательства данного утверждения обозначим три последовательных натуральных числа как $n-1$, $n$ и $n+1$, где $n$ — натуральное число и $n \ge 2$. (Такой выбор переменных упрощает алгебраические преобразования).

Нам нужно доказать, что сумма их кубов делится на 9. Запишем эту сумму:

$S = (n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3$

Для раскрытия скобок воспользуемся формулами куба разности и куба суммы:

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Применив эти формулы к нашему выражению, получим:

$S = (n^3 - 3n^2 + 3n - 1) + n^3 + (n^3 + 3n^2 + 3n + 1)$

Теперь упростим выражение, сгруппировав и сократив подобные члены:

$S = (n^3 + n^3 + n^3) + (-3n^2 + 3n^2) + (3n + 3n) + (-1 + 1)$

$S = 3n^3 + 6n$

Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$S = 3(n^3 + 2n)$

Мы видим, что сумма $S$ гарантированно делится на 3. Чтобы доказать, что она делится на 9, нам необходимо показать, что выражение в скобках, $n^3 + 2n$, также делится на 3.

Преобразуем выражение $n^3 + 2n$ следующим образом:

$n^3 + 2n = n^3 - n + 3n = n(n^2 - 1) + 3n$

Применив формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получим:

$n(n-1)(n+1) + 3n$

Рассмотрим полученную сумму. Первое слагаемое, $(n-1)n(n+1)$, является произведением трёх последовательных натуральных чисел. В любой тройке последовательных чисел одно из них обязательно делится на 3. Следовательно, их произведение также делится на 3.

Второе слагаемое, $3n$, очевидно, делится на 3, так как содержит множитель 3.

Поскольку оба слагаемых в выражении $(n-1)n(n+1) + 3n$ делятся на 3, их сумма тоже делится на 3. Таким образом, мы доказали, что $n^3 + 2n$ делится на 3 для любого натурального $n$.

Это означает, что мы можем представить $n^3 + 2n$ в виде $3k$, где $k$ — некоторое целое число. Вернёмся к нашей сумме $S$:

$S = 3(n^3 + 2n) = 3(3k) = 9k$

Так как сумма $S$ равна $9k$, это означает, что она всегда делится на 9.

Для примера рассмотрим первую возможную тройку натуральных чисел: 1, 2, 3.

$1^3 + 2^3 + 3^3 = 1 + 8 + 27 = 36$

Число 36 делится на 9 ($36 = 9 \cdot 4$), что подтверждает наше доказательство.

Ответ: Что и требовалось доказать.