Номер 254, страница 86 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

254. Доказать, что число $a = n^4 + 2n^3 - n^2 - 2n$ делится на 24 при любом $n \in N (n > 1)$.

Для доказательства того, что число $a = n^4 + 2n^3 - n^2 - 2n$ делится на 24 при любом натуральном $n > 1$, преобразуем данное выражение, разложив его на множители.

Сначала сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:
$a = (n^4 + 2n^3) - (n^2 + 2n) = n^3(n + 2) - n(n + 2)$
Вынесем общий множитель $(n + 2)$:
$a = (n^3 - n)(n + 2)$
Теперь разложим на множители выражение $(n^3 - n)$:
$a = n(n^2 - 1)(n + 2)$

Применив формулу разности квадратов $n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)$, получим окончательное разложение: $a = n(n - 1)(n + 1)(n + 2)$

Переставив множители в порядке возрастания, мы видим, что выражение $a$ представляет собой произведение четырех последовательных целых чисел: $a = (n - 1)n(n + 1)(n + 2)$

Чтобы доказать, что $a$ делится на 24, достаточно доказать, что $a$ делится на 3 и на 8, так как $24 = 3 \times 8$ и числа 3 и 8 являются взаимно простыми (их наибольший общий делитель равен 1).

Докажем делимость на 3.
В любой последовательности из трех последовательных целых чисел одно из них обязательно кратно 3. Поскольку у нас произведение четырех последовательных чисел, одно из них гарантированно делится на 3. Следовательно, всё произведение $a$ делится на 3.

Докажем делимость на 8.
В любой последовательности из четырех последовательных целых чисел есть ровно два четных числа. Эти два четных числа также являются последовательными четными числами. Одно из этих чисел будет просто четным (делится на 2, но не на 4), а другое будет кратно 4. Например, если четные числа в последовательности это $2k$ и $2k+2=2(k+1)$, то одно из чисел $k$ или $k+1$ обязательно четное. Если $k$ четное, то $2k$ делится на 4. Если $k+1$ четное, то $2(k+1)$ делится на 4. Таким образом, в произведении всегда есть множитель, кратный 4, и другой четный множитель, кратный 2. Их произведение делится на $4 \times 2 = 8$. Следовательно, всё произведение $a$ делится на 8.

Поскольку выражение $a$ делится одновременно на 3 и на 8, оно делится и на их произведение $3 \times 8 = 24$. Условие $n > 1$ гарантирует, что все множители являются натуральными числами, и наименьший из них, $n-1$, не меньше 1.

Ответ: Утверждение доказано. Выражение $a = n^4 + 2n^3 - n^2 - 2n$ при любом натуральном $n>1$ является произведением четырех последовательных целых чисел, которое всегда делится на 24.