gdz.top
Номер 258, страница 86 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева
Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, синий
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава II. Делимость чисел. §3. Признаки делимости - номер 258, страница 86.
№257
№258 (с. 86)
Условие. №258 (с. 86)
258. Доказать, что число $n^5 - n$ делится на 5 при любом $n \in N$.
Решение 1. №258 (с. 86)
Решение 2. №258 (с. 86)
Решение 3. №258 (с. 86)
Решение 4. №258 (с. 86)
Для доказательства того, что число $n^5 - n$ делится на $5$ при любом натуральном $n$ (то есть $n \in \mathbb{N}$), можно использовать метод разложения на множители.
Сначала разложим выражение $n^5 - n$ на множители:
$n^5 - n = n(n^4 - 1)$
Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, разложим $n^4 - 1$:
$n(n^4 - 1) = n(n^2 - 1)(n^2 + 1)$
И еще раз применим формулу разности квадратов для $n^2 - 1$:
$n(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1)$
Теперь преобразуем множитель $(n^2 + 1)$, чтобы выделить множители, связанные с делимостью на 5:
$n^2 + 1 = n^2 - 4 + 5 = (n^2 - 4) + 5 = (n - 2)(n + 2) + 5$
Подставим это выражение обратно в наше разложение:
$(n - 1)n(n + 1)((n - 2)(n + 2) + 5)$
Раскроем скобки:
$(n - 1)n(n + 1)(n - 2)(n + 2) + 5(n - 1)n(n + 1)$
Перегруппируем множители в первом слагаемом в порядке возрастания:
$(n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5(n - 1)n(n + 1)$
Теперь проанализируем полученную сумму:
1. Первое слагаемое, $(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$, представляет собой произведение пяти последовательных целых чисел. Среди любых пяти последовательных целых чисел всегда есть ровно одно число, которое делится на 5. Следовательно, их произведение всегда делится на 5.
2. Второе слагаемое, $5(n-1)n(n+1)$, содержит множитель 5, поэтому оно очевидно делится на 5.
Так как оба слагаемых делятся на 5, их сумма также делится на 5. Таким образом, выражение $n^5 - n$ делится на 5 при любом натуральном $n$.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 258 расположенного на странице 86 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №258 (с. 86), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.