Страница 86 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

252. Доказать, что число $207^5 - 72^6$ делится на 9.

Для того чтобы доказать, что число $207^5 - 72^6$ делится на 9, мы воспользуемся свойством делимости: если два числа (уменьшаемое и вычитаемое) делятся на некоторое число, то и их разность делится на это же число. Проверим делимость на 9 для каждого из компонентов выражения.

Рассмотрим первое число, 207. Применим признак делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Сумма цифр числа 207 равна: $2 + 0 + 7 = 9$. Поскольку 9 делится на 9, то и само число 207 делится на 9. Это означает, что 207 можно представить в виде произведения $207 = 9 \times 23$. Если число делится на 9, то и любая его натуральная степень также делится на 9. Следовательно, $207^5$ делится на 9, так как: $207^5 = (9 \times 23)^5 = 9^5 \times 23^5 = 9 \times (9^4 \times 23^5)$.

Теперь рассмотрим второе число, 72. Сумма его цифр равна: $7 + 2 = 9$. Поскольку 9 делится на 9, то и число 72 делится на 9. Мы можем записать $72 = 9 \times 8$. Следовательно, степень $72^6$ также делится на 9, так как: $72^6 = (9 \times 8)^6 = 9^6 \times 8^6 = 9 \times (9^5 \times 8^6)$.

Мы установили, что и уменьшаемое ($207^5$), и вычитаемое ($72^6$) делятся на 9. Значит, их разность $207^5 - 72^6$ также делится на 9. $207^5 - 72^6 = 9 \times (9^4 \times 23^5) - 9 \times (9^5 \times 8^6) = 9 \times (9^4 \times 23^5 - 9^5 \times 8^6)$. Так как выражение в скобках является целым числом, то исходное число $207^5 - 72^6$ делится на 9. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что число $207^5 - 72^6$ делится на 9.

253. Доказать, что число $6 \cdot 7204^{15} + 364^{22}$ делится на 4.

Чтобы доказать, что число $6 \cdot 7204^{15} + 364^{22}$ делится на 4, мы проанализируем каждое слагаемое в этой сумме на предмет делимости на 4. Если каждое слагаемое делится на 4, то и вся сумма будет делиться на 4.

Анализ первого слагаемого: $6 \cdot 7204^{15}$

Воспользуемся признаком делимости на 4: число делится на 4 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4. Для числа 7204 две последние цифры образуют число 04. Так как 4 делится на 4, то и само число 7204 делится на 4. Поскольку 7204 кратно 4, то любая его натуральная степень, в данном случае $7204^{15}$, также будет кратна 4. Произведение числа, кратного 4 (т.е. $7204^{15}$), на любое целое число (в нашем случае 6) также будет кратно 4. Следовательно, первое слагаемое $6 \cdot 7204^{15}$ делится на 4.

Анализ второго слагаемого: $364^{22}$

Рассмотрим число 364. Две его последние цифры образуют число 64. Так как $64 = 4 \cdot 16$, число 64 делится на 4. Следовательно, и само число 364 делится на 4. Поскольку 364 кратно 4, то любая его натуральная степень, в данном случае $364^{22}$, также будет кратна 4.

Вывод

Мы показали, что оба слагаемых, $6 \cdot 7204^{15}$ и $364^{22}$, делятся на 4. Сумма двух чисел, каждое из которых делится на 4, всегда делится на 4. Таким образом, выражение $6 \cdot 7204^{15} + 364^{22}$ делится на 4.

Альтернативное решение с использованием сравнений по модулю

Проверим делимость оснований степеней на 4: $7204 \div 4 = 1801$, остаток 0. Значит, $7204 \equiv 0 \pmod{4}$. $364 \div 4 = 91$, остаток 0. Значит, $364 \equiv 0 \pmod{4}$. Теперь подставим эти сравнения в исходное выражение: $6 \cdot 7204^{15} + 364^{22} \equiv 6 \cdot 0^{15} + 0^{22} \pmod{4}$. Для любых натуральных степеней $15$ и $22$: $0^{15}=0$ и $0^{22}=0$. $6 \cdot 0 + 0 \equiv 0 \pmod{4}$. Так как остаток от деления всего выражения на 4 равен 0, это доказывает, что число $6 \cdot 7204^{15} + 364^{22}$ делится на 4.

Ответ: Утверждение доказано. Число $6 \cdot 7204^{15} + 364^{22}$ делится на 4, поскольку представляет собой сумму двух слагаемых, каждое из которых кратно 4. Это следует из того, что основания степеней (7204 и 364) делятся на 4.

254. Доказать, что число $a = n^4 + 2n^3 - n^2 - 2n$ делится на 24 при любом $n \in N (n > 1)$.

Для доказательства того, что число $a = n^4 + 2n^3 - n^2 - 2n$ делится на 24 при любом натуральном $n > 1$, преобразуем данное выражение, разложив его на множители.

Сначала сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:
$a = (n^4 + 2n^3) - (n^2 + 2n) = n^3(n + 2) - n(n + 2)$
Вынесем общий множитель $(n + 2)$:
$a = (n^3 - n)(n + 2)$
Теперь разложим на множители выражение $(n^3 - n)$:
$a = n(n^2 - 1)(n + 2)$

Применив формулу разности квадратов $n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)$, получим окончательное разложение: $a = n(n - 1)(n + 1)(n + 2)$

Переставив множители в порядке возрастания, мы видим, что выражение $a$ представляет собой произведение четырех последовательных целых чисел: $a = (n - 1)n(n + 1)(n + 2)$

Чтобы доказать, что $a$ делится на 24, достаточно доказать, что $a$ делится на 3 и на 8, так как $24 = 3 \times 8$ и числа 3 и 8 являются взаимно простыми (их наибольший общий делитель равен 1).

Докажем делимость на 3.
В любой последовательности из трех последовательных целых чисел одно из них обязательно кратно 3. Поскольку у нас произведение четырех последовательных чисел, одно из них гарантированно делится на 3. Следовательно, всё произведение $a$ делится на 3.

Докажем делимость на 8.
В любой последовательности из четырех последовательных целых чисел есть ровно два четных числа. Эти два четных числа также являются последовательными четными числами. Одно из этих чисел будет просто четным (делится на 2, но не на 4), а другое будет кратно 4. Например, если четные числа в последовательности это $2k$ и $2k+2=2(k+1)$, то одно из чисел $k$ или $k+1$ обязательно четное. Если $k$ четное, то $2k$ делится на 4. Если $k+1$ четное, то $2(k+1)$ делится на 4. Таким образом, в произведении всегда есть множитель, кратный 4, и другой четный множитель, кратный 2. Их произведение делится на $4 \times 2 = 8$. Следовательно, всё произведение $a$ делится на 8.

Поскольку выражение $a$ делится одновременно на 3 и на 8, оно делится и на их произведение $3 \times 8 = 24$. Условие $n > 1$ гарантирует, что все множители являются натуральными числами, и наименьший из них, $n-1$, не меньше 1.

Ответ: Утверждение доказано. Выражение $a = n^4 + 2n^3 - n^2 - 2n$ при любом натуральном $n>1$ является произведением четырех последовательных целых чисел, которое всегда делится на 24.

255. Доказать, что сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится на 9.

Для доказательства данного утверждения обозначим три последовательных натуральных числа как $n-1$, $n$ и $n+1$, где $n$ — натуральное число и $n \ge 2$. (Такой выбор переменных упрощает алгебраические преобразования).

Нам нужно доказать, что сумма их кубов делится на 9. Запишем эту сумму:

$S = (n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3$

Для раскрытия скобок воспользуемся формулами куба разности и куба суммы:

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Применив эти формулы к нашему выражению, получим:

$S = (n^3 - 3n^2 + 3n - 1) + n^3 + (n^3 + 3n^2 + 3n + 1)$

Теперь упростим выражение, сгруппировав и сократив подобные члены:

$S = (n^3 + n^3 + n^3) + (-3n^2 + 3n^2) + (3n + 3n) + (-1 + 1)$

$S = 3n^3 + 6n$

Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$S = 3(n^3 + 2n)$

Мы видим, что сумма $S$ гарантированно делится на 3. Чтобы доказать, что она делится на 9, нам необходимо показать, что выражение в скобках, $n^3 + 2n$, также делится на 3.

Преобразуем выражение $n^3 + 2n$ следующим образом:

$n^3 + 2n = n^3 - n + 3n = n(n^2 - 1) + 3n$

Применив формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получим:

$n(n-1)(n+1) + 3n$

Рассмотрим полученную сумму. Первое слагаемое, $(n-1)n(n+1)$, является произведением трёх последовательных натуральных чисел. В любой тройке последовательных чисел одно из них обязательно делится на 3. Следовательно, их произведение также делится на 3.

Второе слагаемое, $3n$, очевидно, делится на 3, так как содержит множитель 3.

Поскольку оба слагаемых в выражении $(n-1)n(n+1) + 3n$ делятся на 3, их сумма тоже делится на 3. Таким образом, мы доказали, что $n^3 + 2n$ делится на 3 для любого натурального $n$.

Это означает, что мы можем представить $n^3 + 2n$ в виде $3k$, где $k$ — некоторое целое число. Вернёмся к нашей сумме $S$:

$S = 3(n^3 + 2n) = 3(3k) = 9k$

Так как сумма $S$ равна $9k$, это означает, что она всегда делится на 9.

Для примера рассмотрим первую возможную тройку натуральных чисел: 1, 2, 3.

$1^3 + 2^3 + 3^3 = 1 + 8 + 27 = 36$

Число 36 делится на 9 ($36 = 9 \cdot 4$), что подтверждает наше доказательство.

Ответ: Что и требовалось доказать.

256. Найти остаток от деления числа $10^2 \cdot 5^{45}$ на 8.

Чтобы найти остаток от деления числа $10^2 \cdot 5^{45}$ на 8, мы воспользуемся методами теории чисел, в частности, арифметикой по модулю. Задача состоит в том, чтобы вычислить значение выражения $10^2 \cdot 5^{45} \pmod{8}$.

Для начала преобразуем исходное выражение. Представим число 10 как произведение $2 \cdot 5$: $10^2 \cdot 5^{45} = (2 \cdot 5)^2 \cdot 5^{45}$

Используя свойства степеней, раскроем скобки и объединим множители с одинаковым основанием: $(2 \cdot 5)^2 \cdot 5^{45} = 2^2 \cdot 5^2 \cdot 5^{45} = 4 \cdot 5^{2+45} = 4 \cdot 5^{47}$

Теперь задача сводится к нахождению остатка от деления числа $4 \cdot 5^{47}$ на 8, то есть к вычислению $4 \cdot 5^{47} \pmod{8}$.

Рассмотрим, какие остатки дают степени числа 5 при делении на 8: $5^1 = 5 \equiv 5 \pmod{8}$ $5^2 = 25$. Так как $25 = 3 \cdot 8 + 1$, то $5^2 \equiv 1 \pmod{8}$. $5^3 = 5^2 \cdot 5 \equiv 1 \cdot 5 \equiv 5 \pmod{8}$ $5^4 = (5^2)^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{8}$

Можно заметить, что остатки циклически повторяются с периодом 2. Для нечетных степеней числа 5 остаток от деления на 8 равен 5, а для четных — 1. Поскольку в выражении $5^{47}$ показатель степени 47 является нечетным числом, то: $5^{47} \equiv 5 \pmod{8}$

Теперь подставим найденный остаток обратно в наше выражение: $4 \cdot 5^{47} \pmod{8} \equiv 4 \cdot 5 \pmod{8}$

Вычислим произведение: $4 \cdot 5 = 20$

Осталось найти остаток от деления 20 на 8: $20 = 2 \cdot 8 + 4$ Следовательно, $20 \equiv 4 \pmod{8}$.

Таким образом, остаток от деления исходного числа на 8 равен 4.

Ответ: 4

257. 1) Доказать, что число $n^3 + 3n^2 + 5n + 3$ делится на 3 при любом $n \in N$.

2) Доказать, что число $2n^3 - 3n^2 + n$ делится на 6 при любом $n \in N$ ($n > 1$).

1)

Чтобы доказать, что число $n^3 + 3n^2 + 5n + 3$ делится на 3 при любом $n \in N$, преобразуем данное выражение. Мы можем переписать его, выделив слагаемые, кратность которых трем очевидна:
$n^3 + 3n^2 + 5n + 3 = (n^3 - n) + n + 3n^2 + 5n + 3 = (n^3 - n) + 3n^2 + 6n + 3$.
Теперь сгруппируем слагаемые:
$(n^3 - n) + (3n^2 + 6n + 3) = n(n^2-1) + 3(n^2 + 2n + 1) = (n-1)n(n+1) + 3(n+1)^2$.
Рассмотрим полученную сумму. Первое слагаемое, $(n-1)n(n+1)$, является произведением трех последовательных натуральных чисел. Среди любых трех последовательных чисел одно обязательно делится на 3, поэтому их произведение всегда делится на 3. Второе слагаемое, $3(n+1)^2$, также очевидно делится на 3, так как содержит множитель 3.
Поскольку оба слагаемых делятся на 3, их сумма также делится на 3. Утверждение доказано.

Ответ: Доказано.

2)

Чтобы доказать, что число $2n^3 - 3n^2 + n$ делится на 6 при любом натуральном $n > 1$, сначала разложим выражение на множители. Для этого вынесем $n$ за скобки:
$2n^3 - 3n^2 + n = n(2n^2 - 3n + 1)$.
Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $2n^2 - 3n + 1$. Его корнями являются $n_1=1$ и $n_2=1/2$. Тогда $2n^2 - 3n + 1 = 2(n-1)(n-1/2) = (n-1)(2n-1)$.
Таким образом, исходное выражение равно:
$(n-1)n(2n-1)$.
Чтобы число делилось на 6, оно должно делиться одновременно на 2 и на 3 (так как 2 и 3 — взаимно простые числа).
Делимость на 2: Выражение содержит множитель $(n-1)n$, который является произведением двух последовательных целых чисел. Одно из них обязательно четное, поэтому их произведение делится на 2. Следовательно, все выражение делится на 2.
Делимость на 3: Рассмотрим возможные остатки от деления $n$ на 3:
- Если $n$ делится на 3 ($n \equiv 0 \pmod{3}$), то множитель $n$ делится на 3, и все произведение делится на 3.
- Если $n$ дает остаток 1 при делении на 3 ($n \equiv 1 \pmod{3}$), то множитель $(n-1)$ делится на 3, и все произведение делится на 3.
- Если $n$ дает остаток 2 при делении на 3 ($n \equiv 2 \pmod{3}$), то множитель $(2n-1)$ будет делиться на 3, так как $2 \cdot 2 - 1 = 3 \equiv 0 \pmod{3}$. В этом случае все произведение также делится на 3.
Во всех случаях выражение делится на 3.
Поскольку выражение $2n^3 - 3n^2 + n$ делится и на 2, и на 3, оно делится и на их произведение, то есть на 6.

Ответ: Доказано.

258. Доказать, что число $n^5 - n$ делится на 5 при любом $n \in N$.

Для доказательства того, что число $n^5 - n$ делится на $5$ при любом натуральном $n$ (то есть $n \in \mathbb{N}$), можно использовать метод разложения на множители.

Сначала разложим выражение $n^5 - n$ на множители:

$n^5 - n = n(n^4 - 1)$

Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, разложим $n^4 - 1$:

$n(n^4 - 1) = n(n^2 - 1)(n^2 + 1)$

И еще раз применим формулу разности квадратов для $n^2 - 1$:

$n(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1)$

Теперь преобразуем множитель $(n^2 + 1)$, чтобы выделить множители, связанные с делимостью на 5:

$n^2 + 1 = n^2 - 4 + 5 = (n^2 - 4) + 5 = (n - 2)(n + 2) + 5$

Подставим это выражение обратно в наше разложение:

$(n - 1)n(n + 1)((n - 2)(n + 2) + 5)$

Раскроем скобки:

$(n - 1)n(n + 1)(n - 2)(n + 2) + 5(n - 1)n(n + 1)$

Перегруппируем множители в первом слагаемом в порядке возрастания:

$(n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5(n - 1)n(n + 1)$

Теперь проанализируем полученную сумму:

1. Первое слагаемое, $(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$, представляет собой произведение пяти последовательных целых чисел. Среди любых пяти последовательных целых чисел всегда есть ровно одно число, которое делится на 5. Следовательно, их произведение всегда делится на 5.

2. Второе слагаемое, $5(n-1)n(n+1)$, содержит множитель 5, поэтому оно очевидно делится на 5.

Так как оба слагаемых делятся на 5, их сумма также делится на 5. Таким образом, выражение $n^5 - n$ делится на 5 при любом натуральном $n$.

Ответ: Утверждение доказано.

259. Доказать, что:

1) число $6^{12} - 1$ делится на 37;

2) число $2^{48} - 1$ делится на 65;

3) число $3^{17} - 3$ делится на 240;

4) число $10^{12} + 263$ делится на 11;

5) число $10^{24} - 298$ делится на 99.

1) Чтобы доказать, что число $6^{12} - 1$ делится на 37, преобразуем данное выражение. Представим его в следующем виде: $6^{12} - 1 = (6^2)^6 - 1^6 = 36^6 - 1^6$. Воспользуемся свойством делимости разности степеней: выражение $a^n - b^n$ делится на $a+b$, если показатель степени $n$ является четным числом. В нашем случае $a=36$, $b=1$, а показатель $n=6$ является четным. Следовательно, выражение $36^6 - 1^6$ делится на $36+1=37$. Таким образом, мы доказали, что $6^{12} - 1$ делится на 37.
Ответ: что и требовалось доказать.

2) Чтобы доказать, что число $2^{48} - 1$ делится на 65, разложим выражение на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. $2^{48} - 1 = (2^{24})^2 - 1^2 = (2^{24} - 1)(2^{24} + 1)$. Продолжим разложение первого множителя: $(2^{12} - 1)(2^{12} + 1)(2^{24} + 1) = (2^6 - 1)(2^6 + 1)(2^{12} + 1)(2^{24} + 1)$. Теперь вычислим значения первых двух множителей: $2^6 - 1 = 64 - 1 = 63$. $2^6 + 1 = 64 + 1 = 65$. Таким образом, исходное выражение можно записать в виде: $2^{48} - 1 = 63 \cdot 65 \cdot (2^{12} + 1)(2^{24} + 1)$. Поскольку один из множителей равен 65, все произведение делится на 65.
Ответ: что и требовалось доказать.

3) Чтобы доказать, что число $3^{17} - 3$ делится на 240, сначала вынесем общий множитель 3 за скобки: $3(3^{16} - 1)$. Разложим число 240 на простые множители: $240 = 24 \cdot 10 = (8 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 16 \cdot 3 \cdot 5$. Нам нужно доказать, что $3(3^{16} - 1)$ делится на 16, 3 и 5. Делимость на 3 очевидна из-за множителя 3 перед скобкой. Теперь докажем делимость $3^{16} - 1$ на 16 и 5. Разложим выражение в скобках на множители: $3^{16} - 1 = (3^8 - 1)(3^8 + 1) = (3^4 - 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)$. $3^4 - 1 = 81 - 1 = 80$. Выражение принимает вид: $80 \cdot (3^4 + 1)(3^8 + 1)$. Число 80 делится и на 16 (так как $80 = 16 \cdot 5$), и на 5. Следовательно, $3^{16}-1$ делится на $16 \cdot 5 = 80$. Таким образом, исходное число $3(3^{16} - 1)$ делится на $3 \cdot 80 = 240$.
Ответ: что и требовалось доказать.

4) Чтобы доказать, что число $10^{12} + 263$ делится на 11, воспользуемся свойствами сравнений по модулю. Нам нужно показать, что $10^{12} + 263 \equiv 0 \pmod{11}$. Найдем остаток от деления 10 на 11: $10 \equiv -1 \pmod{11}$. Тогда $10^{12} \equiv (-1)^{12} \pmod{11}$. Поскольку 12 — четное число, $(-1)^{12} = 1$. Таким образом, $10^{12} \equiv 1 \pmod{11}$. Теперь найдем остаток от деления 263 на 11: $263 = 11 \cdot 23 + 10$. Значит, $263 \equiv 10 \pmod{11}$. Также можно записать, что $10 \equiv -1 \pmod{11}$. Теперь сложим остатки: $10^{12} + 263 \equiv 1 + 10 \pmod{11} \equiv 11 \pmod{11} \equiv 0 \pmod{11}$. Поскольку остаток от деления равен 0, число $10^{12} + 263$ делится на 11.
Ответ: что и требовалось доказать.

5) Чтобы доказать, что число $10^{24} - 298$ делится на 99, представим это выражение в другом виде. $10^{24} - 298 = (10^{24} - 1) - 297$. Докажем, что и уменьшаемое, и вычитаемое делятся на 99. Рассмотрим число $10^{24} - 1$. Его можно записать как $(10^2)^{12} - 1 = 100^{12} - 1$. Используем сравнения по модулю 99: $100 \equiv 1 \pmod{99}$. Тогда $100^{12} \equiv 1^{12} \pmod{99}$, то есть $100^{12} \equiv 1 \pmod{99}$. Следовательно, $100^{12} - 1 \equiv 1 - 1 \pmod{99} \equiv 0 \pmod{99}$. Это означает, что $10^{24} - 1$ делится на 99. Теперь рассмотрим число 297. Разделим его на 99: $297 \div 99 = 3$. Значит, 297 также делится на 99. Поскольку и $10^{24} - 1$, и 297 делятся на 99, их разность $(10^{24} - 1) - 297$ также делится на 99.
Ответ: что и требовалось доказать.