Страница 89 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

260. Доказать, что число:

1) $91^{40} - 55^{35}$ делится на 18;

2) $84^{20} + 101^{19}$ делится на 17;

3) $(75 \cdot 39)^{10} + (94 \cdot 58)^{15}$ делится на 19;

4) $10^{327} + 56$ делится на 11;

5) $4^{15} + 233$ делится на 3.

1) Для того чтобы доказать, что число $91^{40} - 55^{35}$ делится на 18, воспользуемся свойствами сравнений по модулю 18.

Найдем остаток от деления 91 на 18:

$91 = 5 \cdot 18 + 1 \implies 91 \equiv 1 \pmod{18}$.

Тогда $91^{40} \equiv 1^{40} \equiv 1 \pmod{18}$.

Теперь найдем остаток от деления 55 на 18:

$55 = 3 \cdot 18 + 1 \implies 55 \equiv 1 \pmod{18}$.

Тогда $55^{35} \equiv 1^{35} \equiv 1 \pmod{18}$.

Теперь найдем остаток от деления всего выражения:

$91^{40} - 55^{35} \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{18}$.

Так как остаток от деления выражения на 18 равен 0, это означает, что число $91^{40} - 55^{35}$ делится на 18 нацело, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) Для доказательства того, что число $84^{20} + 101^{19}$ делится на 17, используем сравнения по модулю 17.

Найдем остаток от деления 84 на 17:

$84 = 5 \cdot 17 - 1 = 85 - 1 \implies 84 \equiv -1 \pmod{17}$.

Тогда $84^{20} \equiv (-1)^{20} \equiv 1 \pmod{17}$, так как показатель степени 20 является четным числом.

Теперь найдем остаток от деления 101 на 17:

$101 = 6 \cdot 17 - 1 = 102 - 1 \implies 101 \equiv -1 \pmod{17}$.

Тогда $101^{19} \equiv (-1)^{19} \equiv -1 \pmod{17}$, так как показатель степени 19 является нечетным числом.

Сложим полученные сравнения:

$84^{20} + 101^{19} \equiv 1 + (-1) \equiv 0 \pmod{17}$.

Полученный остаток от деления на 17 равен 0, что и доказывает делимость исходного числа на 17.

Ответ: Доказано.

3) Докажем, что число $(75 \cdot 39)^{10} + (94 \cdot 58)^{15}$ делится на 19, используя сравнения по модулю 19.

Рассмотрим первое слагаемое $(75 \cdot 39)^{10}$. Найдем остатки от деления множителей на 19:

$75 = 4 \cdot 19 - 1 = 76 - 1 \implies 75 \equiv -1 \pmod{19}$.

$39 = 2 \cdot 19 + 1 = 38 + 1 \implies 39 \equiv 1 \pmod{19}$.

Тогда произведение $75 \cdot 39 \equiv (-1) \cdot 1 \equiv -1 \pmod{19}$.

Возведем в степень 10: $(75 \cdot 39)^{10} \equiv (-1)^{10} \equiv 1 \pmod{19}$.

Рассмотрим второе слагаемое $(94 \cdot 58)^{15}$. Найдем остатки от деления множителей на 19:

$94 = 5 \cdot 19 - 1 = 95 - 1 \implies 94 \equiv -1 \pmod{19}$.

$58 = 3 \cdot 19 + 1 = 57 + 1 \implies 58 \equiv 1 \pmod{19}$.

Тогда произведение $94 \cdot 58 \equiv (-1) \cdot 1 \equiv -1 \pmod{19}$.

Возведем в степень 15: $(94 \cdot 58)^{15} \equiv (-1)^{15} \equiv -1 \pmod{19}$.

Сложим результаты для обоих слагаемых:

$(75 \cdot 39)^{10} + (94 \cdot 58)^{15} \equiv 1 + (-1) \equiv 0 \pmod{19}$.

Остаток от деления выражения на 19 равен 0, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

4) Докажем, что число $10^{327} + 56$ делится на 11, используя сравнения по модулю 11.

Найдем остаток от деления 10 на 11:

$10 \equiv -1 \pmod{11}$.

Возведем в степень 327. Так как 327 — нечетное число, получаем:

$10^{327} \equiv (-1)^{327} \equiv -1 \pmod{11}$.

Теперь найдем остаток от деления 56 на 11:

$56 = 5 \cdot 11 + 1 \implies 56 \equiv 1 \pmod{11}$.

Сложим полученные сравнения:

$10^{327} + 56 \equiv -1 + 1 \equiv 0 \pmod{11}$.

Остаток от деления выражения на 11 равен 0, следовательно, число делится на 11, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

5) Докажем, что число $4^{15} + 233$ делится на 3, используя сравнения по модулю 3.

Найдем остаток от деления 4 на 3:

$4 = 1 \cdot 3 + 1 \implies 4 \equiv 1 \pmod{3}$.

Тогда любая натуральная степень числа 4 будет сравнима с 1 по модулю 3:

$4^{15} \equiv 1^{15} \equiv 1 \pmod{3}$.

Теперь найдем остаток от деления 233 на 3. Воспользуемся признаком делимости на 3: сумма цифр числа 233 равна $2 + 3 + 3 = 8$.

Найдем остаток от деления 8 на 3: $8 = 2 \cdot 3 + 2 \implies 8 \equiv 2 \pmod{3}$.

Следовательно, $233 \equiv 2 \pmod{3}$.

Сложим полученные сравнения:

$4^{15} + 233 \equiv 1 + 2 \equiv 3 \equiv 0 \pmod{3}$.

Остаток от деления выражения на 3 равен 0, что и доказывает делимость.

Ответ: Доказано.

261. Найти остаток от деления числа:

1) $25^{26} + 29^{26}$ на 3;

2) $2^{367} + 43$ на 17;

3) $2^{1995} + 5 \cdot 10^3$ на 3;

4) $2^{76} + 3 \cdot 10^{18}$ на 9.

1) Воспользуемся свойствами сравнений по модулю. Найдем остатки от деления оснований степеней на 3. $25 = 3 \cdot 8 + 1$, следовательно, $25 \equiv 1 \pmod{3}$. $29 = 3 \cdot 9 + 2$, следовательно, $29 \equiv 2 \pmod{3}$, что эквивалентно $29 \equiv -1 \pmod{3}$. Подставим эти сравнения в исходное выражение: $25^{26} + 29^{26} \equiv 1^{26} + (-1)^{26} \pmod{3}$. Поскольку показатель степени 26 — четное число, $(-1)^{26} = 1$. В результате получаем: $1^{26} + (-1)^{26} = 1 + 1 = 2$. Таким образом, остаток от деления числа $25^{26} + 29^{26}$ на 3 равен 2.
Ответ: 2

2) Найдем остаток от деления каждого слагаемого на 17. Для числа 43 имеем: $43 = 2 \cdot 17 + 9$, значит, $43 \equiv 9 \pmod{17}$. Для нахождения остатка от деления $2^{367}$ на 17 воспользуемся малой теоремой Ферма, так как 17 — простое число. Согласно этой теореме, $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ для любого целого $a$, не делящегося на простое $p$. В нашем случае $a=2$ и $p=17$, поэтому $2^{17-1} = 2^{16} \equiv 1 \pmod{17}$. Представим показатель степени 367 в виде $367 = 16 \cdot 22 + 15$. Тогда $2^{367} = 2^{16 \cdot 22 + 15} = (2^{16})^{22} \cdot 2^{15}$. Используя сравнение, получаем $2^{367} \equiv 1^{22} \cdot 2^{15} \equiv 2^{15} \pmod{17}$. Для вычисления $2^{15} \pmod{17}$ удобно заметить, что $2^4 = 16 \equiv -1 \pmod{17}$. Тогда $2^{15} = 2^{4 \cdot 3 + 3} = (2^4)^3 \cdot 2^3 \equiv (-1)^3 \cdot 8 = -8 \pmod{17}$. Так как $-8 \equiv 9 \pmod{17}$, то $2^{367} \equiv 9 \pmod{17}$. Теперь сложим остатки: $2^{367} + 43 \equiv 9 + 9 = 18 \pmod{17}$. Наконец, $18 \equiv 1 \pmod{17}$.
Ответ: 1

3) Найдем остаток от деления выражения на 3, используя свойства сравнений. Для первого слагаемого $2^{1995}$ заметим, что $2 \equiv -1 \pmod{3}$. Тогда $2^{1995} \equiv (-1)^{1995} \pmod{3}$. Поскольку 1995 — нечетное число, $(-1)^{1995} = -1$. Таким образом, $2^{1995} \equiv -1 \equiv 2 \pmod{3}$. Для второго слагаемого $5 \cdot 10^3$ найдем остатки для каждого множителя: $5 \equiv 2 \pmod{3}$ и $10 \equiv 1 \pmod{3}$. Следовательно, $5 \cdot 10^3 \equiv 2 \cdot 1^3 = 2 \pmod{3}$. Теперь сложим остатки обоих слагаемых: $2^{1995} + 5 \cdot 10^3 \equiv 2 + 2 = 4 \pmod{3}$. Так как $4 \equiv 1 \pmod{3}$, искомый остаток равен 1.
Ответ: 1

4) Найдем остаток от деления выражения на 9. Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности. Для слагаемого $3 \cdot 10^{18}$ имеем $10 \equiv 1 \pmod{9}$, поэтому $10^{18} \equiv 1^{18} \equiv 1 \pmod{9}$. Тогда $3 \cdot 10^{18} \equiv 3 \cdot 1 = 3 \pmod{9}$. Для слагаемого $2^{76}$ воспользуемся теоремой Эйлера. Значение функции Эйлера для 9 равно $\phi(9) = 9(1 - 1/3) = 6$. Так как числа 2 и 9 взаимно просты, то по теореме Эйлера $2^{\phi(9)} = 2^6 \equiv 1 \pmod{9}$. Представим показатель степени 76 в виде $76 = 12 \cdot 6 + 4$. Отсюда $2^{76} = 2^{12 \cdot 6 + 4} = (2^6)^{12} \cdot 2^4$. Используя сравнение, получаем $2^{76} \equiv 1^{12} \cdot 2^4 = 16 \pmod{9}$. Поскольку $16 \equiv 7 \pmod{9}$, то $2^{76} \equiv 7 \pmod{9}$. Наконец, сложим остатки обоих слагаемых: $2^{76} + 3 \cdot 10^{18} \equiv 7 + 3 = 10 \pmod{9}$. Так как $10 \equiv 1 \pmod{9}$, искомый остаток равен 1.
Ответ: 1

262. Доказать, что число:

1) $28 \cdot 20^{15} - 10 \cdot 18^{13}$ делится на 19;

2) $3^3 \cdot 23^8 + 5^8 \cdot 2^{14}$ делится на 13;

3) $125^{24} - 1825$ делится на 600;

4) $100^{20} - 50 \cdot 16^5$ делится на 49;

5) $42^{365} + 53^{241}$ делится на 5;

6) $71^{325} + 41^{135}$ делится на 7.

1) Доказать, что число $28 \cdot 20^{15} - 10 \cdot 18^{13}$ делится на 19;

Для доказательства воспользуемся арифметикой по модулю 19. Это значит, что мы будем рассматривать остатки от деления чисел на 19. Два числа считаются сравнимыми по модулю $n$, если у них одинаковые остатки при делении на $n$.

Найдем, с какими числами сравнимы компоненты выражения по модулю 19:

• $28 = 1 \cdot 19 + 9 \implies 28 \equiv 9 \pmod{19}$
• $20 = 1 \cdot 19 + 1 \implies 20 \equiv 1 \pmod{19}$
• $10 < 19 \implies 10 \equiv 10 \pmod{19}$
• $18 = 0 \cdot 19 + 18 \implies 18 \equiv 18 \pmod{19}$, или удобнее $18 \equiv -1 \pmod{19}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$28 \cdot 20^{15} - 10 \cdot 18^{13} \equiv 9 \cdot 1^{15} - 10 \cdot (-1)^{13} \pmod{19}$

Так как $1$ в любой степени равен $1$, а $(-1)$ в нечетной степени (13) равен $-1$, получаем:

$9 \cdot 1 - 10 \cdot (-1) = 9 + 10 = 19$

Поскольку $19$ делится на $19$, остаток равен 0:

$19 \equiv 0 \pmod{19}$

Таким образом, исходное число делится на 19.

Ответ: Доказано.

2) Доказать, что число $3^3 \cdot 23^8 + 5^8 \cdot 2^{14}$ делится на 13;

Для доказательства воспользуемся сравнениями по модулю 13. Рассмотрим каждое слагаемое отдельно.

Первое слагаемое: $3^3 \cdot 23^8$.

• $3^3 = 27 = 2 \cdot 13 + 1 \implies 3^3 \equiv 1 \pmod{13}$
• $23 = 1 \cdot 13 + 10 \implies 23 \equiv 10 \pmod{13}$, или $23 \equiv -3 \pmod{13}$

Тогда $23^8 \equiv (-3)^8 = 3^8 \pmod{13}$. Найдем значение $3^8 \pmod{13}$:

$3^2 = 9 \pmod{13}$

$3^3 = 27 \equiv 1 \pmod{13}$

$3^8 = 3^{3 \cdot 2 + 2} = (3^3)^2 \cdot 3^2 \equiv 1^2 \cdot 9 = 9 \pmod{13}$

Значит, первое слагаемое $3^3 \cdot 23^8 \equiv 1 \cdot 9 = 9 \pmod{13}$.

Второе слагаемое: $5^8 \cdot 2^{14}$.

• $5^2 = 25 = 1 \cdot 13 + 12 \implies 5^2 \equiv 12 \equiv -1 \pmod{13}$. Тогда $5^8 = (5^2)^4 \equiv (-1)^4 = 1 \pmod{13}$.
• Согласно малой теореме Ферма, $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ для простого $p$ и целого $a$, не делящегося на $p$. Для $p=13$ имеем $2^{12} \equiv 1 \pmod{13}$. Тогда $2^{14} = 2^{12} \cdot 2^2 \equiv 1 \cdot 4 = 4 \pmod{13}$.

Значит, второе слагаемое $5^8 \cdot 2^{14} \equiv 1 \cdot 4 = 4 \pmod{13}$.

Теперь сложим результаты:

$3^3 \cdot 23^8 + 5^8 \cdot 2^{14} \equiv 9 + 4 = 13 \equiv 0 \pmod{13}$

Следовательно, число делится на 13.

Ответ: Доказано.

3) Доказать, что число $125^{24} - 1825$ делится на 600;

Чтобы доказать, что число делится на 600, докажем, что оно делится на взаимно простые множители, произведение которых равно 600. Разложим 600 на множители: $600 = 6 \cdot 100 = 2 \cdot 3 \cdot 10^2 = 2 \cdot 3 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 = 8 \cdot 3 \cdot 25$. Нам нужно доказать делимость на 8, 3 и 25.

1. Делимость на 25:
   $125 = 5 \cdot 25$, поэтому $125$ делится на 25, а значит и $125^{24}$ делится на 25.
   $1825 = 1800 + 25 = 18 \cdot 100 + 25$. Так как 100 делится на 25, то 1825 также делится на 25.
   Разность двух чисел, делящихся на 25, делится на 25.
2. Делимость на 3:
   По признаку делимости на 3, число сравнимо с суммой своих цифр по модулю 3.
   $125 \to 1+2+5 = 8 \equiv 2 \equiv -1 \pmod{3}$. Тогда $125^{24} \equiv (-1)^{24} = 1 \pmod{3}$.
   $1825 \to 1+8+2+5 = 16 \equiv 1 \pmod{3}$.
   Следовательно, $125^{24} - 1825 \equiv 1 - 1 = 0 \pmod{3}$. Число делится на 3.
3. Делимость на 8:
   $125 = 15 \cdot 8 + 5 \equiv 5 \pmod{8}$.
   $125^2 \equiv 5^2 = 25 = 3 \cdot 8 + 1 \equiv 1 \pmod{8}$.
   $125^{24} = (125^2)^{12} \equiv 1^{12} = 1 \pmod{8}$.
   $1825 = 1824 + 1 = 228 \cdot 8 + 1 \equiv 1 \pmod{8}$.
   Следовательно, $125^{24} - 1825 \equiv 1 - 1 = 0 \pmod{8}$. Число делится на 8.

Поскольку число делится на 8, 3 и 25, оно делится и на их произведение $8 \cdot 3 \cdot 25 = 600$.

Ответ: Доказано.

4) Доказать, что число $100^{20} - 50 \cdot 16^5$ делится на 49;

Докажем это утверждение, используя сравнения по модулю 49.

Найдем остатки от деления на 49 для чисел в выражении:

• $100 = 2 \cdot 49 + 2 \implies 100 \equiv 2 \pmod{49}$
• $50 = 1 \cdot 49 + 1 \implies 50 \equiv 1 \pmod{49}$

Подставим эти значения в выражение:

$100^{20} - 50 \cdot 16^5 \equiv 2^{20} - 1 \cdot 16^5 \pmod{49}$

Представим 16 как степень двойки: $16 = 2^4$. Тогда:

$16^5 = (2^4)^5 = 2^{4 \cdot 5} = 2^{20}$

Теперь наше выражение принимает вид:

$2^{20} - 2^{20} = 0 \pmod{49}$

Это означает, что исходное число делится на 49 без остатка.

Ответ: Доказано.

5) Доказать, что число $42^{365} + 53^{241}$ делится на 5;

Чтобы доказать делимость на 5, достаточно рассмотреть остатки от деления на 5 (то есть последние цифры чисел).

$42$ оканчивается на 2, значит $42 \equiv 2 \pmod{5}$.

$53$ оканчивается на 3, значит $53 \equiv 3 \pmod{5}$.

Выражение $42^{365} + 53^{241}$ сравнимо с $2^{365} + 3^{241} \pmod{5}$.

Найдем, чему равны степени по модулю 5. Степени любого числа (кроме кратных 5) по модулю 5 повторяются с циклом длиной 4 ($a^4 \equiv 1 \pmod{5}$ по малой теореме Ферма).

Для первого слагаемого: $2^{365}$. Найдем остаток от деления показателя 365 на 4:

$365 = 364 + 1 = 4 \cdot 91 + 1 \implies 365 \equiv 1 \pmod{4}$.

Значит, $2^{365} \equiv 2^1 = 2 \pmod{5}$.

Для второго слагаемого: $3^{241}$. Найдем остаток от деления показателя 241 на 4:

$241 = 240 + 1 = 4 \cdot 60 + 1 \implies 241 \equiv 1 \pmod{4}$.

Значит, $3^{241} \equiv 3^1 = 3 \pmod{5}$.

Теперь сложим результаты:

$2^{365} + 3^{241} \equiv 2 + 3 = 5 \equiv 0 \pmod{5}$

Число делится на 5.

Ответ: Доказано.

6) Доказать, что число $71^{325} + 41^{135}$ делится на 7.

Докажем утверждение, используя сравнения по модулю 7.

Найдем остатки от деления на 7 для оснований степеней:

• $71 = 10 \cdot 7 + 1 \implies 71 \equiv 1 \pmod{7}$
• $41 = 5 \cdot 7 + 6 \implies 41 \equiv 6 \pmod{7}$, или $41 \equiv -1 \pmod{7}$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$71^{325} + 41^{135} \equiv 1^{325} + (-1)^{135} \pmod{7}$

Любая степень 1 равна 1. Показатель 135 — нечетное число, поэтому $(-1)^{135} = -1$.

Получаем:

$1 + (-1) = 1 - 1 = 0 \pmod{7}$

Следовательно, исходное число делится на 7.

Ответ: Доказано.