Страница 82 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

238. 1) Пусть $x$ и $y$ — такие натуральные числа, что число $7x + 9y$ делится на 11. Доказать, что число $57x + 78y$ делится на 11.

2) Сумма натуральных чисел $m$ и $n$ делится на 7. Доказать, что число $2m^2 + 5mn + 3n^2$ делится на 7.

1) По условию задачи, число $7x+9y$ делится на 11. Необходимо доказать, что число $57x+78y$ также делится на 11.
Преобразуем выражение $57x+78y$, попытавшись выразить его через $7x+9y$ и слагаемые, кратные 11. Заметим, что можно подобрать такой коэффициент, чтобы после преобразования получить требуемый результат.
Рассмотрим выражение $5(7x+9y)$. Оно равно $35x+45y$.
Теперь представим $57x+78y$ следующим образом:
$57x+78y = (35x+45y) + (22x+33y)$.
Сгруппировав слагаемые, получим:
$57x+78y = 5(7x+9y) + 11(2x+3y)$.
Проанализируем полученную сумму. Первое слагаемое, $5(7x+9y)$, делится на 11, так как по условию множитель $(7x+9y)$ делится на 11. Второе слагаемое, $11(2x+3y)$, также делится на 11, поскольку содержит множитель 11.
Сумма двух слагаемых, каждое из которых делится на 11, также делится на 11.
Следовательно, выражение $57x+78y$ делится на 11.
Ответ: Доказано.

2) По условию, сумма натуральных чисел $m$ и $n$ делится на 7. Это означает, что $(m+n)$ кратно 7.
Необходимо доказать, что число $2m^2+5mn+3n^2$ делится на 7.
Разложим данное выражение на множители. Для этого представим средний член $5mn$ как сумму $2mn+3mn$:
$2m^2+5mn+3n^2 = 2m^2 + 2mn + 3mn + 3n^2$.
Сгруппируем слагаемые:
$(2m^2 + 2mn) + (3mn + 3n^2)$.
Вынесем общие множители из каждой группы:
$2m(m+n) + 3n(m+n)$.
Теперь вынесем за скобки общий множитель $(m+n)$:
$(m+n)(2m+3n)$.
Таким образом, мы получили тождество: $2m^2+5mn+3n^2 = (m+n)(2m+3n)$.
Поскольку по условию множитель $(m+n)$ делится на 7, то и всё произведение $(m+n)(2m+3n)$ делится на 7, так как один из его сомножителей делится на 7.
Следовательно, число $2m^2+5mn+3n^2$ делится на 7.
Ответ: Доказано.

239. Доказать, что число $555^{777} + 777^{555}$ делится на 37.

Для доказательства того, что число $555^{777} + 777^{555}$ делится на 37, мы будем использовать свойства сравнений по модулю. Нам необходимо показать, что остаток от деления данного числа на 37 равен нулю, то есть $555^{777} + 777^{555} \equiv 0 \pmod{37}$.

Рассмотрим первое слагаемое, $555^{777}$. Найдем остаток от деления его основания, числа 555, на 37. Заметим, что число 111 можно представить как произведение $3 \times 37$. Тогда число 555 можно представить следующим образом: $555 = 5 \times 111 = 5 \times (3 \times 37) = 15 \times 37$. Это означает, что число 555 делится на 37 без остатка, или $555 \equiv 0 \pmod{37}$. Следовательно, и любая его натуральная степень делится на 37: $555^{777} \equiv 0^{777} \equiv 0 \pmod{37}$.

Теперь рассмотрим второе слагаемое, $777^{555}$. Аналогично, найдем остаток от деления его основания, числа 777, на 37. Так как $111 = 3 \times 37$, то $777 = 7 \times 111 = 7 \times (3 \times 37) = 21 \times 37$. Число 777 также делится на 37 без остатка, то есть $777 \equiv 0 \pmod{37}$. Следовательно, $777^{555} \equiv 0^{555} \equiv 0 \pmod{37}$.

Складывая сравнения для обоих слагаемых, получаем: $555^{777} + 777^{555} \equiv 0 + 0 \pmod{37}$, что равносильно $555^{777} + 777^{555} \equiv 0 \pmod{37}$.

Поскольку остаток от деления суммы на 37 равен нулю, это доказывает, что число $555^{777} + 777^{555}$ делится на 37.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку оба слагаемых, $555^{777}$ и $777^{555}$, кратны 37, их сумма также кратна 37.

240. Доказать, что число $(m + 5n + 7)^6 (3m + 7n + 2)^7$ делится на 64 при любых натуральных $m$ и $n$.

Пусть данное число равно $A = (m + 5n + 7)^6 (3m + 7n + 2)^7$. Нам необходимо доказать, что $A$ делится на 64 при любых натуральных $m$ и $n$.

Обозначим выражения в скобках как $X = m + 5n + 7$ и $Y = 3m + 7n + 2$. Тогда всё выражение можно записать в виде $A = X^6 Y^7$.

Рассмотрим чётность чисел $X$ и $Y$, исследовав их по модулю 2.
$X = m + 5n + 7 \equiv m + n + 1 \pmod{2}$
$Y = 3m + 7n + 2 \equiv m + n \pmod{2}$

Из этих сравнений следует, что числа $X$ и $Y$ всегда имеют разную чётность. Если $Y$ чётно, то $X$ нечётно, и наоборот. Это происходит потому, что их остатки от деления на 2 отличаются на 1. Следовательно, при любых натуральных $m$ и $n$ одно из чисел $X$ или $Y$ обязательно является чётным.

Рассмотрим два возможных варианта:

1. Если число $X = m + 5n + 7$ является чётным, то оно представимо в виде $X=2k$ для некоторого целого $k$. В этом случае число $Y$ будет нечётным. Тогда множитель $X^6 = (2k)^6 = 64k^6$. Это выражение делится на 64. Следовательно, и всё произведение $A = X^6 Y^7$ делится на 64.

2. Если число $Y = 3m + 7n + 2$ является чётным, то оно представимо в виде $Y=2j$ для некоторого целого $j$. В этом случае число $X$ будет нечётным. Тогда множитель $Y^7 = (2j)^7 = 128j^7$. Так как $128$ делится на 64 ($128 = 2 \cdot 64$), то и $Y^7$ делится на 64. Следовательно, и всё произведение $A = X^6 Y^7$ делится на 64.

Таким образом, при любых натуральных значениях $m$ и $n$ один из множителей ($X^6$ или $Y^7$) делится на 64, а значит и всё произведение делится на 64. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

241. Доказать, что если к произведению четырёх последовательных натуральных чисел прибавить единицу, то получится число, равное квадрату некоторого натурального числа.

Пусть даны четыре последовательных натуральных числа. Обозначим первое из них через $n$, где $n \in \mathbb{N}$ (то есть $n \ge 1$). Тогда последовательность чисел имеет вид: $n$, $n+1$, $n+2$, $n+3$.

Нам нужно доказать, что их произведение, увеличенное на единицу, является полным квадратом. Составим соответствующее выражение:

$S = n(n+1)(n+2)(n+3) + 1$

Для доказательства преобразуем это выражение. Удобно сгруппировать множители, перемножив крайние и средние члены:

$S = [n(n+3)] \cdot [(n+1)(n+2)] + 1$

Раскроем скобки в каждой группе:

$n(n+3) = n^2 + 3n$

$(n+1)(n+2) = n^2 + 2n + n + 2 = n^2 + 3n + 2$

Теперь подставим полученные выражения обратно в формулу для $S$:

$S = (n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2) + 1$

Чтобы упростить дальнейшие преобразования, введем замену переменной. Пусть $x = n^2 + 3n$. Тогда выражение для $S$ примет вид:

$S = x(x+2) + 1$

Раскроем скобки:

$S = x^2 + 2x + 1$

Полученное выражение является формулой квадрата суммы:

$S = (x+1)^2$

Теперь выполним обратную замену, подставив вместо $x$ выражение $n^2 + 3n$:

$S = (n^2 + 3n + 1)^2$

Мы показали, что исходное выражение равно квадрату выражения $(n^2 + 3n + 1)$. Осталось убедиться, что $(n^2 + 3n + 1)$ является натуральным числом. Поскольку $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$. Следовательно, $n^2$ и $3n$ также являются натуральными числами. Сумма натуральных чисел $n^2 + 3n + 1$ также всегда будет натуральным числом.

Таким образом, мы доказали, что если к произведению четырёх последовательных натуральных чисел прибавить единицу, то получится квадрат некоторого натурального числа.

Ответ: Утверждение доказано. Выражение $n(n+1)(n+2)(n+3) + 1$ равно $(n^2 + 3n + 1)^2$, а так как $n$ — натуральное число, то и $n^2 + 3n + 1$ является натуральным числом.

242. Доказать, что:

1) число $16^3 + 31^4 - 2$ делится на 15;

2) число $10^{10} + 28^3 - 2$ делится на 9;

3) число $36^3 + 19^3 - 16$ делится на 17.

1) Доказать, что число $16^3 + 31^4 - 2$ делится на 15

Чтобы доказать, что число делится на 15, нужно показать, что оно сравнимо с нулём по модулю 15. Для этого воспользуемся свойствами сравнений.

Рассмотрим каждый член выражения по модулю 15:

Первый член: $16$ при делении на $15$ даёт в остатке $1$. Запишем это в виде сравнения: $16 \equiv 1 \pmod{15}$. Тогда, по свойству сравнений, $16^3 \equiv 1^3 \pmod{15}$, что равносильно $16^3 \equiv 1 \pmod{15}$.

Второй член: $31$ при делении на $15$ даёт в остатке $1$ ($31 = 2 \cdot 15 + 1$). Следовательно, $31 \equiv 1 \pmod{15}$. Тогда $31^4 \equiv 1^4 \pmod{15}$, что равносильно $31^4 \equiv 1 \pmod{15}$.

Теперь подставим найденные сравнения в исходное выражение:

$16^3 + 31^4 - 2 \equiv 1 + 1 - 2 \pmod{15}$

$16^3 + 31^4 - 2 \equiv 0 \pmod{15}$

Так как выражение сравнимо с нулём по модулю 15, это означает, что оно делится на 15 без остатка.

Ответ: Доказано.

2) Доказать, что число $10^{10} + 28^3 - 2$ делится на 9

Чтобы доказать, что число делится на 9, нужно показать, что оно сравнимо с нулём по модулю 9.

Рассмотрим каждый член выражения по модулю 9:

Первый член: $10$ при делении на $9$ даёт в остатке $1$. Следовательно, $10 \equiv 1 \pmod{9}$. Тогда $10^{10} \equiv 1^{10} \pmod{9}$, что равносильно $10^{10} \equiv 1 \pmod{9}$.

Второй член: $28$ при делении на $9$ даёт в остатке $1$ ($28 = 3 \cdot 9 + 1$). Следовательно, $28 \equiv 1 \pmod{9}$. Тогда $28^3 \equiv 1^3 \pmod{9}$, что равносильно $28^3 \equiv 1 \pmod{9}$.

Подставим найденные сравнения в исходное выражение:

$10^{10} + 28^3 - 2 \equiv 1 + 1 - 2 \pmod{9}$

$10^{10} + 28^3 - 2 \equiv 0 \pmod{9}$

Так как выражение сравнимо с нулём по модулю 9, оно делится на 9 без остатка.

Ответ: Доказано.

3) Доказать, что число $36^3 + 19^3 - 16$ делится на 17

Чтобы доказать, что число делится на 17, нужно показать, что оно сравнимо с нулём по модулю 17.

Рассмотрим каждый член выражения по модулю 17:

Первый член: $36$ при делении на $17$ даёт в остатке $2$ ($36 = 2 \cdot 17 + 2$). Следовательно, $36 \equiv 2 \pmod{17}$. Тогда $36^3 \equiv 2^3 \pmod{17}$, что равносильно $36^3 \equiv 8 \pmod{17}$.

Второй член: $19$ при делении на $17$ даёт в остатке $2$ ($19 = 1 \cdot 17 + 2$). Следовательно, $19 \equiv 2 \pmod{17}$. Тогда $19^3 \equiv 2^3 \pmod{17}$, что равносильно $19^3 \equiv 8 \pmod{17}$.

Подставим найденные сравнения в исходное выражение:

$36^3 + 19^3 - 16 \equiv 8 + 8 - 16 \pmod{17}$

$36^3 + 19^3 - 16 \equiv 0 \pmod{17}$

Так как выражение сравнимо с нулём по модулю 17, оно делится на 17 без остатка.

Ответ: Доказано.