Страница 95 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Найти остаток от деления числа 123456781 на 9 (не производя деления).

1. Для того чтобы найти остаток от деления числа на 9 без выполнения самого деления, можно воспользоваться признаком делимости на 9. Он гласит, что остаток от деления любого натурального числа на 9 равен остатку от деления суммы его цифр на 9.

Это правило следует из того, что любая степень числа 10 при делении на 9 дает в остатке 1. Например, $10 = 9 + 1$, $100 = 99 + 1 = 11 \cdot 9 + 1$. В общем виде это записывается как сравнение по модулю: $10^k \equiv 1 \pmod{9}$ для любого целого неотрицательного $k$.

Рассмотрим число $123456781$. Представим его как сумму разрядных слагаемых: $123456781 = 1 \cdot 10^8 + 2 \cdot 10^7 + 3 \cdot 10^6 + 4 \cdot 10^5 + 5 \cdot 10^4 + 6 \cdot 10^3 + 7 \cdot 10^2 + 8 \cdot 10^1 + 1 \cdot 10^0$

Остаток от деления этого числа на 9 будет равен остатку от деления суммы его цифр, так как каждая степень десяти ($10^k$) сравнима с 1 по модулю 9.

Вычислим сумму цифр числа $123456781$: $S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 1$

Сложим цифры: $S = 36 + 1 = 37$

Теперь найдем остаток от деления полученной суммы ($37$) на 9: $37 \div 9 = 4$ и остаток $1$, потому что $37 = 9 \cdot 4 + 1$.

Таким образом, остаток от деления исходного числа $123456781$ на 9 также равен 1.

Ответ: 1

2. Найти остаток от деления числа $10 \cdot 5^{15}$ на 4.

Для нахождения остатка от деления числа $10 \cdot 5^{15}$ на $4$ воспользуемся свойствами сравнений по модулю. Задача состоит в том, чтобы вычислить значение выражения $10 \cdot 5^{15} \pmod{4}$.

Арифметика по модулю позволяет заменять числа их остатками при выполнении операций сложения и умножения. Найдем остатки для каждого сомножителя при делении на $4$.

1. Найдем остаток от деления $10$ на $4$:
$10 = 4 \cdot 2 + 2$.
Остаток равен $2$. В виде сравнения это записывается как $10 \equiv 2 \pmod{4}$.

2. Найдем остаток от деления $5$ на $4$:
$5 = 4 \cdot 1 + 1$.
Остаток равен $1$. В виде сравнения это записывается как $5 \equiv 1 \pmod{4}$.

Теперь подставим эти значения в исходное выражение. Согласно свойствам сравнений, если $a \equiv b \pmod{m}$, то $a^n \equiv b^n \pmod{m}$. Так как $5 \equiv 1 \pmod{4}$, то:$5^{15} \equiv 1^{15} \pmod{4}$$5^{15} \equiv 1 \pmod{4}$

Теперь мы можем найти остаток от деления всего произведения, заменив каждый множитель на его остаток:$10 \cdot 5^{15} \equiv 2 \cdot 1 \pmod{4}$$10 \cdot 5^{15} \equiv 2 \pmod{4}$

Таким образом, остаток от деления числа $10 \cdot 5^{15}$ на $4$ равен 2.
Ответ: $2$

3. Найти последнюю цифру числа $a = 2^{85} + 3^{73}$.

Чтобы найти последнюю цифру числа $a = 2^{85} + 3^{73}$, необходимо определить, на какую цифру оканчивается каждое из слагаемых, а затем найти последнюю цифру их суммы. Поиск последней цифры числа эквивалентен нахождению остатка от деления этого числа на 10.

1. Найдем последнюю цифру числа $2^{85}$

Рассмотрим, на какие цифры оканчиваются степени числа 2:
$2^1 = 2$
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$
$2^4 = 16$ (оканчивается на 6)
$2^5 = 32$ (оканчивается на 2)
Последние цифры степеней двойки образуют повторяющуюся последовательность: 2, 4, 8, 6. Длина этого цикла равна 4. Чтобы определить последнюю цифру числа $2^{85}$, нужно найти остаток от деления показателя степени 85 на длину цикла 4.
$85 \div 4 = 21$ с остатком 1. Математически это можно записать как $85 \equiv 1 \pmod{4}$.
Поскольку остаток равен 1, последняя цифра $2^{85}$ будет такой же, как и у первого члена последовательности, то есть у $2^1$.
Следовательно, число $2^{85}$ оканчивается на 2.

2. Найдем последнюю цифру числа $3^{73}$

Аналогично рассмотрим, на какие цифры оканчиваются степени числа 3:
$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$ (оканчивается на 7)
$3^4 = 81$ (оканчивается на 1)
$3^5 = 243$ (оканчивается на 3)
Последние цифры степеней тройки также образуют цикл длиной 4: 3, 9, 7, 1. Чтобы определить последнюю цифру числа $3^{73}$, найдем остаток от деления показателя степени 73 на 4.
$73 \div 4 = 18$ с остатком 1. Математически: $73 \equiv 1 \pmod{4}$.
Остаток равен 1, поэтому последняя цифра $3^{73}$ будет такой же, как и у первого члена последовательности, то есть у $3^1$.
Следовательно, число $3^{73}$ оканчивается на 3.

3. Найдем последнюю цифру суммы

Последняя цифра числа $a$ равна последней цифре суммы последних цифр его слагаемых.
Последняя цифра $2^{85}$ — это 2.
Последняя цифра $3^{73}$ — это 3.
Сумма этих цифр: $2 + 3 = 5$.
Таким образом, последняя цифра числа $a = 2^{85} + 3^{73}$ равна 5.

Ответ: 5

4. Не выполняя операций вычитания и деления, выяснить, делится ли число $a = 8675423 - 5723468$ на 3.

Чтобы определить, делится ли число $a = 8675423 - 5723468$ на 3, не выполняя указанных в условии операций, мы воспользуемся признаком делимости на 3. Согласно этому признаку, число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Более общее свойство заключается в том, что остаток от деления числа на 3 равен остатку от деления суммы его цифр на 3.

Разность двух чисел $x - y$ делится на 3, если числа $x$ и $y$ имеют одинаковые остатки при делении на 3. Проверим это для заданных чисел.

1. Найдем остаток от деления числа $8675423$ на 3. Для этого вычислим сумму его цифр:

$S_1 = 8 + 6 + 7 + 5 + 4 + 2 + 3 = 35$

Теперь найдем остаток от деления этой суммы на 3:

$35 = 3 \cdot 11 + 2$

Остаток равен 2. Таким образом, число $8675423$ дает остаток 2 при делении на 3, что можно записать как $8675423 \equiv 2 \pmod{3}$.

2. Аналогично найдем остаток от деления числа $5723468$ на 3. Сумма его цифр равна:

$S_2 = 5 + 7 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 = 35$

Остаток от деления этой суммы на 3 также равен 2:

$35 = 3 \cdot 11 + 2$

Следовательно, $5723468 \equiv 2 \pmod{3}$.

Поскольку оба числа, $8675423$ и $5723468$, имеют одинаковый остаток (равный 2) при делении на 3, их разность будет делиться на 3 без остатка. Математически это выглядит так:

$a = 8675423 - 5723468 \equiv 2 - 2 \pmod{3} \equiv 0 \pmod{3}$

Так как остаток от деления числа $a$ на 3 равен 0, то число $a$ делится на 3.

Ответ: число $a = 8675423 - 5723468$ делится на 3.

5. Выяснить, делится ли число 123456780 на 12.

Для того чтобы число делилось на 12, оно должно одновременно делиться на 3 и на 4, так как $12 = 3 \times 4$ и числа 3 и 4 являются взаимно простыми. Проверим поочередно выполнение этих двух условий для числа 123456780.

1. Проверка делимости на 3.

Согласно признаку делимости на 3, число делится на 3 в том и только в том случае, если сумма его цифр делится на 3. Вычислим сумму цифр для числа 123456780:

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 0 = 36$

Полученная сумма, 36, делится на 3 ($36 \div 3 = 12$). Следовательно, число 123456780 делится на 3.

2. Проверка делимости на 4.

Согласно признаку делимости на 4, число делится на 4 в том и только в том случае, если число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4. Для числа 123456780 последние две цифры образуют число 80.

Число 80 делится на 4 ($80 \div 4 = 20$). Следовательно, число 123456780 делится на 4.

Поскольку число 123456780 делится и на 3, и на 4, оно удовлетворяет обоим условиям, а значит, делится и на 12.

Ответ: да, число 123456780 делится на 12.

6. Доказать, что при любом $n \in N$ число $a = n^3 + 35n$ делится на 6.

Для того чтобы доказать, что число $a = n^3 + 35n$ делится на 6 при любом натуральном $n$, необходимо показать, что это число делится одновременно на 2 и на 3, так как $6 = 2 \cdot 3$, а числа 2 и 3 являются взаимно простыми.

Преобразуем исходное выражение, прибавив и вычтя из него $n$. Это позволит нам выделить известные формы, делимость которых легко доказать.

$a = n^3 + 35n = n^3 - n + n + 35n = (n^3 - n) + 36n$

Теперь проанализируем каждое слагаемое в полученной сумме $a = (n^3 - n) + 36n$.

Первое слагаемое: $n^3 - n$. Вынесем общий множитель $n$ за скобки и применим формулу разности квадратов:

$n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$

Полученное выражение $(n-1)n(n+1)$ является произведением трех последовательных целых чисел. Среди любых трех последовательных чисел всегда есть:

• хотя бы одно четное число (то есть число, делящееся на 2),
• ровно одно число, делящееся на 3.

Поскольку в произведении присутствуют множители, кратные 2 и 3, то само произведение гарантированно делится на $2 \cdot 3 = 6$.

Второе слагаемое: $36n$. Так как коэффициент 36 делится на 6 ($36 = 6 \cdot 6$), то и все произведение $36n$ делится на 6 для любого натурального $n$.

Мы представили исходное число $a$ в виде суммы двух слагаемых, $(n^3 - n)$ и $36n$. Так как каждое из этих слагаемых делится на 6, то и их сумма $a = (n^3 - n) + 36n$ также делится на 6 при любом натуральном $n$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение о том, что число $a = n^3 + 35n$ делится на 6 при любом $n \in N$, доказано.