Номер 3, страница 95 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

3. Найти последнюю цифру числа $a = 2^{85} + 3^{73}$.

Чтобы найти последнюю цифру числа $a = 2^{85} + 3^{73}$, необходимо определить, на какую цифру оканчивается каждое из слагаемых, а затем найти последнюю цифру их суммы. Поиск последней цифры числа эквивалентен нахождению остатка от деления этого числа на 10.

1. Найдем последнюю цифру числа $2^{85}$

Рассмотрим, на какие цифры оканчиваются степени числа 2:
$2^1 = 2$
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$
$2^4 = 16$ (оканчивается на 6)
$2^5 = 32$ (оканчивается на 2)
Последние цифры степеней двойки образуют повторяющуюся последовательность: 2, 4, 8, 6. Длина этого цикла равна 4. Чтобы определить последнюю цифру числа $2^{85}$, нужно найти остаток от деления показателя степени 85 на длину цикла 4.
$85 \div 4 = 21$ с остатком 1. Математически это можно записать как $85 \equiv 1 \pmod{4}$.
Поскольку остаток равен 1, последняя цифра $2^{85}$ будет такой же, как и у первого члена последовательности, то есть у $2^1$.
Следовательно, число $2^{85}$ оканчивается на 2.

2. Найдем последнюю цифру числа $3^{73}$

Аналогично рассмотрим, на какие цифры оканчиваются степени числа 3:
$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$ (оканчивается на 7)
$3^4 = 81$ (оканчивается на 1)
$3^5 = 243$ (оканчивается на 3)
Последние цифры степеней тройки также образуют цикл длиной 4: 3, 9, 7, 1. Чтобы определить последнюю цифру числа $3^{73}$, найдем остаток от деления показателя степени 73 на 4.
$73 \div 4 = 18$ с остатком 1. Математически: $73 \equiv 1 \pmod{4}$.
Остаток равен 1, поэтому последняя цифра $3^{73}$ будет такой же, как и у первого члена последовательности, то есть у $3^1$.
Следовательно, число $3^{73}$ оканчивается на 3.

3. Найдем последнюю цифру суммы

Последняя цифра числа $a$ равна последней цифре суммы последних цифр его слагаемых.
Последняя цифра $2^{85}$ — это 2.
Последняя цифра $3^{73}$ — это 3.
Сумма этих цифр: $2 + 3 = 5$.
Таким образом, последняя цифра числа $a = 2^{85} + 3^{73}$ равна 5.

Ответ: 5