Номер 4, страница 94 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

4. Можно ли утверждать, что при любых натуральных m и n делится на m + n число a, если:

1) $a = m^3 + n^3$;

2) $a = m^5 + n^5$;

3) $a = m^6 - n^6$;

4) $a = \frac{m^8 - n^8}{m^2 + n^2}$?

1) $a = m^3 + n^3$;

Для проверки делимости воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.

Применив эту формулу к выражению для $a$, получим:

$a = m^3 + n^3 = (m+n)(m^2 - mn + n^2)$

Поскольку $m$ и $n$ — натуральные числа, то второй множитель $(m^2 - mn + n^2)$ является целым числом. Из этого следует, что число $a$ представляется в виде произведения $(m+n)$ на целое число, а значит, $a$ всегда делится на $(m+n)$ без остатка при любых натуральных $m$ и $n$.

Ответ: можно утверждать.

2) $a = m^5 + n^5$;

Для суммы одинаковых нечетных степеней существует общая формула разложения на множители: $x^k + y^k = (x+y)(x^{k-1} - x^{k-2}y + \dots - xy^{k-2} + y^{k-1})$ для любого нечетного натурального $k$.

В нашем случае степень $k=5$ является нечетной, поэтому мы можем разложить $a$ на множители:

$a = m^5 + n^5 = (m+n)(m^4 - m^3n + m^2n^2 - mn^3 + n^4)$

Так как $m$ и $n$ — натуральные числа, выражение в правых скобках $(m^4 - m^3n + m^2n^2 - mn^3 + n^4)$ всегда будет целым числом. Следовательно, число $a$ делится на $(m+n)$ для любых натуральных $m$ и $n$.

Ответ: можно утверждать.

3) $a = m^6 - n^6$;

Выражение для $a$ можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. Для этого представим $m^6$ как $(m^3)^2$ и $n^6$ как $(n^3)^2$.

$a = m^6 - n^6 = (m^3)^2 - (n^3)^2 = (m^3 - n^3)(m^3 + n^3)$

Как мы установили в пункте 1, выражение $(m^3 + n^3)$ всегда делится на $(m+n)$. Поскольку $a$ содержит множитель $(m^3 + n^3)$, то и само число $a$ также будет делиться на $(m+n)$.

Альтернативный способ — разложить $m^6 - n^6$ как разность квадратов $(m^2)^3-(n^2)^3$ не подходит, но можно использовать разложение $a = (m^2-n^2)(m^4+m^2n^2+n^4)$. Затем, разложив первый множитель, получаем: $a=(m-n)(m+n)(m^4+m^2n^2+n^4)$. В этом разложении явно виден множитель $(m+n)$, что также доказывает делимость.

Ответ: можно утверждать.

4) $a = \frac{m^8 - n^8}{m^2 + n^2}$?

Сначала упростим выражение для $a$. Для этого разложим числитель $m^8 - n^8$ на множители, последовательно применяя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

$m^8 - n^8 = (m^4)^2 - (n^4)^2 = (m^4 - n^4)(m^4 + n^4)$

Продолжим разложение первого множителя:

$m^4 - n^4 = (m^2)^2 - (n^2)^2 = (m^2 - n^2)(m^2 + n^2)$

Таким образом, числитель равен:

$m^8 - n^8 = (m^2 - n^2)(m^2 + n^2)(m^4 + n^4)$

Теперь подставим это в исходное выражение для $a$:

$a = \frac{(m^2 - n^2)(m^2 + n^2)(m^4 + n^4)}{m^2 + n^2}$

Поскольку $m$ и $n$ — натуральные числа, $m^2 + n^2$ всегда больше нуля, поэтому на этот множитель можно сократить дробь. Получаем:

$a = (m^2 - n^2)(m^4 + n^4)$

Наконец, разложим на множители первый сомножитель $(m^2 - n^2)$:

$a = (m - n)(m + n)(m^4 + n^4)$

В полученном выражении явно присутствует множитель $(m+n)$. Так как $(m-n)$ и $(m^4+n^4)$ являются целыми числами при натуральных $m$ и $n$, число $a$ всегда делится на $(m+n)$.

Ответ: можно утверждать.