Номер 284, страница 94 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

284. Найти все целочисленные решения уравнения:

1) $x^2 = y^2 + 4y + 8;$

2) $x^3 - 3x^2 - xy - 8x - 2y + 27 = 0;$

3) $3xy + 16x + 13y + 61 = 0;$

4) $3xy - 10x + 16y - 45 = 0.$

1) Исходное уравнение: $x^2 = y^2 + 4y + 8$. Это диофантово уравнение. Преобразуем правую часть, выделив полный квадрат: $y^2 + 4y + 8 = (y^2 + 4y + 4) + 4 = (y+2)^2 + 4$. Уравнение принимает вид $x^2 = (y+2)^2 + 4$. Перенесем слагаемое с $y$ в левую часть: $x^2 - (y+2)^2 = 4$. Применим формулу разности квадратов: $(x - (y+2))(x + (y+2)) = 4$, что равносильно $(x - y - 2)(x + y + 2) = 4$. Так как $x$ и $y$ — целые числа, то выражения в скобках $(x - y - 2)$ и $(x + y + 2)$ также являются целыми числами, которые в произведении дают 4. Обозначим $A = x - y - 2$ и $B = x + y + 2$. Заметим, что их разность $B - A = (x + y + 2) - (x - y - 2) = 2y + 4 = 2(y+2)$ является четным числом. Это означает, что $A$ и $B$ должны иметь одинаковую четность. Поскольку их произведение $A \cdot B = 4$ четное, то и $A$, и $B$ должны быть четными. Возможные пары целых четных множителей числа 4: $(2, 2)$ и $(-2, -2)$. Рассмотрим каждый случай.
Случай 1: $A = 2$ и $B = 2$. Получаем систему уравнений: $\begin{cases} x - y - 2 = 2 \\ x + y + 2 = 2 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2x = 4$, откуда $x=2$. Подставив $x=2$ во второе уравнение, найдем $y$: $2 + y + 2 = 2 \Rightarrow y = -2$. Решение: $(2, -2)$.
Случай 2: $A = -2$ и $B = -2$. Получаем систему уравнений: $\begin{cases} x - y - 2 = -2 \\ x + y + 2 = -2 \end{cases}$. Сложив уравнения, получим $2x = -4$, откуда $x=-2$. Подставив $x=-2$ во второе уравнение, найдем $y$: $-2 + y + 2 = -2 \Rightarrow y = -2$. Решение: $(-2, -2)$.
Ответ: $(2, -2), (-2, -2)$.

2) Исходное уравнение: $x^3 - 3x^2 - xy - 8x - 2y + 27 = 0$. Выразим переменную $y$ через $x$. Для этого сгруппируем слагаемые с $y$: $x^3 - 3x^2 - 8x + 27 = xy + 2y$, или $y(x+2) = x^3 - 3x^2 - 8x + 27$. Если $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$, мы можем разделить обе части на $x+2$: $y = \frac{x^3 - 3x^2 - 8x + 27}{x+2}$. Чтобы $y$ был целым числом, числитель должен делиться на знаменатель нацело. Выполним деление многочленов (например, столбиком): $y = x^2 - 5x + 2 + \frac{23}{x+2}$. Поскольку $x$ — целое число, выражение $x^2 - 5x + 2$ также является целым. Следовательно, для целочисленности $y$ необходимо, чтобы дробь $\frac{23}{x+2}$ была целым числом. Это означает, что знаменатель $x+2$ должен быть делителем числа 23. Так как 23 — простое число, его целые делители: $1, -1, 23, -23$.
Рассмотрим 4 случая:
1. $x+2 = 1 \Rightarrow x = -1$. Тогда $y = (-1)^2 - 5(-1) + 2 + \frac{23}{1} = 1+5+2+23 = 31$. Решение: $(-1, 31)$.
2. $x+2 = -1 \Rightarrow x = -3$. Тогда $y = (-3)^2 - 5(-3) + 2 + \frac{23}{-1} = 9+15+2-23 = 3$. Решение: $(-3, 3)$.
3. $x+2 = 23 \Rightarrow x = 21$. Тогда $y = 21^2 - 5(21) + 2 + \frac{23}{23} = 441 - 105 + 2 + 1 = 339$. Решение: $(21, 339)$.
4. $x+2 = -23 \Rightarrow x = -25$. Тогда $y = (-25)^2 - 5(-25) + 2 + \frac{23}{-23} = 625 + 125 + 2 - 1 = 751$. Решение: $(-25, 751)$.
Осталось проверить случай $x = -2$. Подставляя в исходное уравнение: $(-2)^3 - 3(-2)^2 - (-2)y - 8(-2) - 2y + 27 = 0 \Rightarrow -8 - 12 + 2y + 16 - 2y + 27 = 0 \Rightarrow 23 = 0$. Это неверное равенство, значит при $x=-2$ решений нет.
Ответ: $(-1, 31), (-3, 3), (21, 339), (-25, 751)$.

3) Исходное уравнение: $3xy + 16x + 13y + 61 = 0$. Это уравнение вида $axy+bx+cy+d=0$, которое можно решить методом разложения на множители. Умножим обе части уравнения на 3, чтобы коэффициент при $xy$ стал полным квадратом: $9xy + 48x + 39y + 183 = 0$. Теперь попробуем разложить левую часть на множители вида $(3x+A)(3y+B)$. Раскрыв скобки, получим $9xy+3Bx+3Ay+AB$. Сравнивая с нашим уравнением, имеем: $3A = 39 \Rightarrow A=13$ и $3B = 48 \Rightarrow B=16$. Значит, искомое разложение связано с выражением $(3x+13)(3y+16) = 9xy + 48x + 39y + 208$. Перепишем наше уравнение как $9xy + 48x + 39y = -183$. Добавим к обеим частям 208: $(9xy + 48x + 39y + 208) = -183 + 208$. Слева получаем искомое произведение: $(3x+13)(3y+16) = 25$. Обозначим $U=3x+13$ и $V=3y+16$. Так как $x, y$ — целые, то $U, V$ — целые множители числа 25. Пары множителей: $(1, 25), (25, 1), (-1, -25), (-25, -1), (5, 5), (-5, -5)$. Для того чтобы $x$ был целым, $U-13$ должно делиться на 3, т.е. $U \equiv 13 \pmod 3 \Rightarrow U \equiv 1 \pmod 3$. Для того чтобы $y$ был целым, $V-16$ должно делиться на 3, т.е. $V \equiv 16 \pmod 3 \Rightarrow V \equiv 1 \pmod 3$. Проверим пары $(U, V)$:
1. $(1, 25)$: $1 \equiv 1 \pmod 3$ и $25 \equiv 1 \pmod 3$. Подходит. $x = (1-13)/3 = -4, y = (25-16)/3 = 3$. Решение: $(-4, 3)$.
2. $(25, 1)$: $25 \equiv 1 \pmod 3$ и $1 \equiv 1 \pmod 3$. Подходит. $x = (25-13)/3 = 4, y = (1-16)/3 = -5$. Решение: $(4, -5)$.
3. $(-1, -25)$: $-1 \equiv 2 \pmod 3$. Не подходит.
4. $(-25, -1)$: $-25 \equiv 2 \pmod 3$. Не подходит.
5. $(5, 5)$: $5 \equiv 2 \pmod 3$. Не подходит.
6. $(-5, -5)$: $-5 \equiv 1 \pmod 3$. Подходит. $x = (-5-13)/3 = -6, y = (-5-16)/3 = -7$. Решение: $(-6, -7)$.
Ответ: $(-4, 3), (4, -5), (-6, -7)$.

4) Исходное уравнение: $3xy - 10x + 16y - 45 = 0$. Применим метод разложения на множители. Умножим уравнение на 3: $9xy - 30x + 48y - 135 = 0$. Представим левую часть в виде $(3x+A)(3y+B) = 9xy + 3Bx + 3Ay + AB$. Сравнивая с нашим уравнением, имеем: $3A = 48 \Rightarrow A=16$ и $3B = -30 \Rightarrow B=-10$. Таким образом, $(3x+16)(3y-10) = 9xy - 30x + 48y - 160$. Наше уравнение можно записать как $9xy - 30x + 48y = 135$. Преобразуем его: $(9xy - 30x + 48y - 160) + 160 = 135$, что дает $(3x+16)(3y-10) = 135 - 160 = -25$. Обозначим $U = 3x+16$ и $V = 3y-10$. $U$ и $V$ — целые множители числа -25. Пары множителей: $(1, -25), (-1, 25), (5, -5), (-5, 5), (25, -1), (-25, 1)$. Для целочисленности $x$ необходимо $U-16$ делилось на 3, то есть $U \equiv 16 \pmod 3 \Rightarrow U \equiv 1 \pmod 3$. Для целочисленности $y$ необходимо $V+10$ делилось на 3, то есть $V \equiv -10 \pmod 3 \Rightarrow V \equiv 2 \pmod 3$. Проверим пары $(U, V)$ на соответствие этим условиям:
1. $(1, -25)$: $U=1 \equiv 1 \pmod 3$, $V=-25 \equiv 2 \pmod 3$. Подходит. $x=(1-16)/3 = -5$, $y=(-25+10)/3 = -5$. Решение: $(-5, -5)$.
2. $(-1, 25)$: $U=-1 \equiv 2 \pmod 3$. Не подходит.
3. $(5, -5)$: $U=5 \equiv 2 \pmod 3$. Не подходит.
4. $(-5, 5)$: $U=-5 \equiv 1 \pmod 3$, $V=5 \equiv 2 \pmod 3$. Подходит. $x=(-5-16)/3 = -7$, $y=(5+10)/3 = 5$. Решение: $(-7, 5)$.
5. $(25, -1)$: $U=25 \equiv 1 \pmod 3$, $V=-1 \equiv 2 \pmod 3$. Подходит. $x=(25-16)/3 = 3$, $y=(-1+10)/3 = 3$. Решение: $(3, 3)$.
6. $(-25, 1)$: $U=-25 \equiv 2 \pmod 3$. Не подходит.
Ответ: $(-5, -5), (-7, 5), (3, 3)$.