Номер 279, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

279. Найти остаток от деления числа a на m, если:

1) $a = 10^{245} + 123456789, m=11;$

2) $a = 7 \cdot 2^{25} + 13 \cdot 14^9, m=5.$

1) a = 10²⁴⁵ + 123456789, m = 11;

Чтобы найти остаток от деления числа $a$ на $m=11$, мы воспользуемся свойствами сравнений по модулю. Остаток от деления суммы равен остатку от суммы остатков по тому же модулю. Это можно записать так: $a \pmod{11} = (10^{245} \pmod{11} + 123456789 \pmod{11}) \pmod{11}$.

Сначала вычислим остаток для первого слагаемого, $10^{245}$. Так как $10 = 11 - 1$, то $10 \equiv -1 \pmod{11}$. Возведем обе части этого сравнения в степень $245$:
$10^{245} \equiv (-1)^{245} \pmod{11}$.
Поскольку степень $245$ нечетная, $(-1)^{245} = -1$. Таким образом, $10^{245} \equiv -1 \pmod{11}$. В качестве остатка принято брать наименьшее неотрицательное число, поэтому остаток $-1$ по модулю $11$ эквивалентен остатку $10$ (так как $-1+11=10$).

Далее вычислим остаток для второго слагаемого, $123456789$. Применим признак делимости на $11$: число сравнимо по модулю $11$ со своей знакопеременной суммой цифр, взятых с права налево. Для числа $123456789$ эта сумма равна:
$9 - 8 + 7 - 6 + 5 - 4 + 3 - 2 + 1 = 5$.
Значит, $123456789 \equiv 5 \pmod{11}$.

Теперь сложим найденные остатки слагаемых:
$a \equiv 10 + 5 \pmod{11}$,
$a \equiv 15 \pmod{11}$.
Поскольку $15$ при делении на $11$ дает остаток $4$ ($15 = 1 \cdot 11 + 4$), то $a \equiv 4 \pmod{11}$.

Ответ: 4

2) a = 7 · 2²⁵ + 13 · 14⁹, m = 5.

Для нахождения остатка от деления $a$ на $m=5$, мы также воспользуемся арифметикой по модулю $5$.

Сначала заменим все множители и основания степеней в выражении на их остатки от деления на $5$:
$7 \equiv 2 \pmod{5}$
$13 \equiv 3 \pmod{5}$
$14 \equiv 4 \pmod{5}$ или, что удобнее для возведения в степень, $14 \equiv -1 \pmod{5}$.

Подставим эти значения в исходное выражение:
$a \equiv 2 \cdot 2^{25} + 3 \cdot (-1)^9 \pmod{5}$.

Упростим полученное выражение. Первое слагаемое: $2 \cdot 2^{25} = 2^{26}$. Второе слагаемое: так как степень $9$ нечетная, $(-1)^9 = -1$, поэтому $3 \cdot (-1)^9 = -3$. Таким образом:
$a \equiv 2^{26} - 3 \pmod{5}$.

Теперь найдем $2^{26} \pmod{5}$. Воспользуемся малой теоремой Ферма, согласно которой для простого числа $p$ и целого числа $k$, не делящегося на $p$, выполняется сравнение $k^{p-1} \equiv 1 \pmod p$. Для $p=5$ и $k=2$ имеем $2^{5-1} = 2^4 \equiv 1 \pmod{5}$.
Представим показатель степени $26$ как $26 = 4 \cdot 6 + 2$. Тогда:
$2^{26} = 2^{4 \cdot 6 + 2} = (2^4)^6 \cdot 2^2$.
Отсюда, $2^{26} \equiv 1^6 \cdot 2^2 \pmod{5}$, то есть $2^{26} \equiv 4 \pmod{5}$.

Подставим найденное значение в сравнение для $a$:
$a \equiv 4 - 3 \pmod{5}$,
$a \equiv 1 \pmod{5}$.

Ответ: 1