Номер 281, страница 94 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

281. Пусть $m$ и $n$ – натуральные числа, такие, что число $m + n + 2$ делится на 6. Доказать, что число $m^3 + n^3 + 8$ также делится на 6.

По условию задачи дано, что $m$ и $n$ — натуральные числа, и число $m + n + 2$ делится на 6. Используя язык сравнений по модулю, это можно записать как $m + n + 2 \equiv 0 \pmod{6}$.

Нам необходимо доказать, что число $m^3 + n^3 + 8$ также делится на 6, то есть $m^3 + n^3 + 8 \equiv 0 \pmod{6}$.

Рассмотрим разность между выражением, делимость которого нужно доказать, и выражением, делимость которого дана в условии: $(m^3 + n^3 + 8) - (m + n + 2)$.

Упростим эту разность: $(m^3 + n^3 + 8) - (m + n + 2) = m^3 - m + n^3 - n + 6 = (m^3 - m) + (n^3 - n) + 6$.

Теперь проанализируем выражение вида $k^3 - k$ для любого натурального числа $k$. Разложим его на множители: $k^3 - k = k(k^2 - 1) = k(k - 1)(k + 1) = (k - 1)k(k + 1)$.

Это выражение представляет собой произведение трех последовательных целых чисел. Произведение трех последовательных чисел всегда делится на 6, потому что: 1. Среди трех последовательных чисел всегда есть хотя бы одно четное, то есть оно делится на 2. 2. Среди трех последовательных чисел всегда есть ровно одно число, кратное трем, то есть оно делится на 3. Поскольку числа 2 и 3 взаимно просты, то их произведение, то есть 6, также делит произведение этих трех чисел.

Таким образом, для любых натуральных $m$ и $n$:

• $m^3 - m$ делится на 6.
• $n^3 - n$ делится на 6.

Следовательно, сумма $(m^3 - m) + (n^3 - n)$ делится на 6. Так как 6 также делится на 6, то вся разность $(m^3 - m) + (n^3 - n) + 6$ делится на 6.

Мы показали, что разность $(m^3 + n^3 + 8) - (m + n + 2)$ кратна 6. Это означает, что числа $m^3 + n^3 + 8$ и $m + n + 2$ имеют одинаковые остатки при делении на 6. Запишем это в виде сравнения: $m^3 + n^3 + 8 \equiv m + n + 2 \pmod{6}$.

Из условия задачи мы знаем, что $m + n + 2$ делится на 6, то есть $m + n + 2 \equiv 0 \pmod{6}$. Подставим это в полученное нами сравнение: $m^3 + n^3 + 8 \equiv 0 \pmod{6}$.

Это доказывает, что число $m^3 + n^3 + 8$ также делится на 6.

Ответ: Утверждение доказано.