Номер 1, страница 94 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Натуральное число $a$ делится на натуральные числа $m$ и $n$.

Можно ли утверждать, что $a$ делится на $mn$?

Нет, это утверждать в общем случае нельзя. Тот факт, что натуральное число $a$ делится на натуральные числа $m$ и $n$, не гарантирует, что $a$ будет делиться на их произведение $mn$.

Для того чтобы опровергнуть это общее утверждение, достаточно привести один контрпример.

Контрпример:
Пусть $a = 12$, $m = 6$ и $n = 4$.
Все эти числа являются натуральными. Проверим выполнение условий задачи:

• Число $a = 12$ делится нацело на $m = 6$, так как $12 \div 6 = 2$.
• Число $a = 12$ делится нацело на $n = 4$, так как $12 \div 4 = 3$.

Оба условия выполнены. Теперь проверим, делится ли $a$ на произведение $mn$:
$mn = 6 \cdot 4 = 24$.
Число $a = 12$ не делится нацело на $24$.
Таким образом, мы нашли пример, когда условия выполняются, а заключение — нет. Следовательно, утверждение неверно.

Объяснение:
Утверждение "если $a$ делится на $m$ и $a$ делится на $n$, то $a$ делится на $mn$" является верным тогда и только тогда, когда числа $m$ и $n$ взаимно простые, то есть их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.
$\text{НОД}(m, n) = 1$.

В общем случае, если число $a$ делится на $m$ и на $n$, то оно гарантированно делится на их наименьшее общее кратное (НОК). Существует фундаментальное свойство, связывающее НОД и НОК двух чисел:
$m \cdot n = \text{НОД}(m, n) \cdot \text{НОК}(m, n)$

Из этой формулы можно выразить НОК:
$\text{НОК}(m, n) = \frac{m \cdot n}{\text{НОД}(m, n)}$
Число $a$ всегда делится на $\text{НОК}(m, n)$. Оно будет делиться на произведение $mn$ только в том случае, если $\text{НОК}(m, n) = mn$, что возможно лишь при $\text{НОД}(m, n) = 1$.

В нашем контрпримере для $m = 6$ и $n = 4$, наибольший общий делитель $\text{НОД}(6, 4) = 2$. Числа не являются взаимно простыми. Поэтому число $a = 12$ делится на их $\text{НОК}(6, 4) = \frac{6 \cdot 4}{2} = 12$, но не обязано делиться на $mn=24$.

Пример, когда утверждение верно:
Пусть $m = 3$ и $n = 5$. Эти числа взаимно простые, так как $\text{НОД}(3, 5) = 1$. Если некое число $a$ делится на 3 и на 5, то оно обязательно будет делиться и на их произведение $3 \cdot 5 = 15$. Например, $a = 60$. $60$ делится и на 3, и на 5, и на 15.

Ответ: Нет, утверждать, что $a$ делится на $mn$, в общем случае нельзя. Это справедливо только для взаимно простых чисел $m$ и $n$.