Номер 285, страница 94 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

285. В прямоугольном треугольнике длины сторон выражены натуральными взаимно простыми числами. Доказать, что длина гипотенузы выражена нечётным числом, а длины катетов — числами разной чётности.

Пусть $a$ и $b$ — длины катетов прямоугольного треугольника, а $c$ — длина его гипотенузы. По условию, $a, b, c$ — натуральные взаимно простые числа. Это означает, что их наибольший общий делитель $НОД(a, b, c) = 1$.

Из взаимной простоты чисел $a, b, c$ следует их попарная взаимная простота. Действительно, если бы у $a$ и $b$ был общий делитель $d > 1$, то из теоремы Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$ следовало бы, что $c^2$ делится на $d^2$, а значит $c$ делится на $d$. Тогда $d$ был бы общим делителем для $a, b$ и $c$, что противоречит условию. Таким образом, $НОД(a,b)=1$, $НОД(a,c)=1$ и $НОД(b,c)=1$.

Согласно теореме Пифагора, стороны связаны соотношением:

$a^2 + b^2 = c^2$

Для доказательства обоих утверждений проведём анализ чётности сторон. Рассмотрим все возможные случаи чётности катетов $a$ и $b$.

Случай 1: Оба катета $a$ и $b$ — чётные.

Если $a$ и $b$ — чётные, то они имеют общий делитель 2. Это противоречит доказанному выше свойству попарной взаимной простоты ($НОД(a,b)=1$). Следовательно, этот случай невозможен.

Случай 2: Оба катета $a$ и $b$ — нечётные.

Если $a$ и $b$ — нечётные, то их квадраты $a^2$ и $b^2$ также нечётные. Сумма двух нечётных чисел $c^2 = a^2 + b^2$ является чётным числом, значит гипотенуза $c$ — чётное число.

Рассмотрим это равенство с точки зрения остатков от деления на 4.Квадрат нечётного числа $n = 2k+1$ при делении на 4 даёт в остатке 1, так как $n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4(k^2+k) + 1$.Поскольку $a$ и $b$ нечётные, то $a^2 \equiv 1 \pmod{4}$ и $b^2 \equiv 1 \pmod{4}$.Следовательно, их сумма $c^2 = a^2 + b^2 \equiv 1 + 1 \equiv 2 \pmod{4}$.

Однако квадрат любого целого числа не может давать остаток 2 при делении на 4.

• Если $c$ — чётное, то $c=2m$ и $c^2 = 4m^2$, то есть $c^2 \equiv 0 \pmod{4}$.
• Если $c$ — нечётное, то $c^2 \equiv 1 \pmod{4}$.

Полученное противоречие ($c^2$ должно быть сравнимо с 2 по модулю 4, но не может) означает, что этот случай также невозможен.

Поскольку случаи, когда катеты имеют одинаковую чётность, невозможны, остаётся только один вариант.

длины катетов — числами разной чётности

Из проведённого анализа следует, что единственно возможный случай — когда один катет является чётным числом, а другой — нечётным.
Ответ: Утверждение доказано.

длина гипотенузы выражена нечётным числом

Как мы только что доказали, один из катетов (пусть $a$) — чётный, а другой ($b$) — нечётный.Тогда их квадраты имеют соответствующую чётность: $a^2$ — чётное, а $b^2$ — нечётное.Сумма чётного и нечётного числа всегда нечётна. Поэтому $c^2 = a^2 + b^2$ является нечётным числом.Если квадрат числа ($c^2$) нечётен, то и само число ($c$) должно быть нечётным, так как квадрат чётного числа всегда чётен.
Ответ: Утверждение доказано.