Номер 282, страница 94 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

282. Доказать, что число $n^5 - 6n$ делится на 5 при любом $n \in N$.

Для того чтобы доказать, что число $n^5 - 6n$ делится на 5 при любом натуральном $n$, мы преобразуем это выражение.

Представим $n^5 - 6n$ в виде разности: $n^5 - 6n = n^5 - n - 5n = (n^5 - n) - 5n$.

Данное выражение является разностью двух слагаемых: $(n^5 - n)$ и $5n$. Второе слагаемое, $5n$, очевидно делится на 5 для любого натурального $n$, так как оно содержит множитель 5. Следовательно, задача сводится к доказательству того, что первое слагаемое, $(n^5 - n)$, также делится на 5.

Докажем делимость $(n^5 - n)$ на 5 путем разложения на множители. $n^5 - n = n(n^4 - 1)$. Применяя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем: $n(n^4 - 1) = n(n^2 - 1)(n^2 + 1) = n(n-1)(n+1)(n^2 + 1)$.

Теперь используем алгебраический прием. Представим множитель $n^2 + 1$ в виде $n^2 - 4 + 5$, чтобы в дальнейшем выделить произведение пяти последовательных чисел: $(n-1)n(n+1)(n^2 + 1) = (n-1)n(n+1)(n^2 - 4 + 5) = (n-1)n(n+1)((n-2)(n+2) + 5) = (n-1)n(n+1)(n-2)(n+2) + 5(n-1)n(n+1)$.

Переупорядочим множители в первом слагаемом: $(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) + 5(n-1)n(n+1)$.

Рассмотрим получившуюся сумму. Первое слагаемое, $(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$, является произведением пяти последовательных целых чисел. Среди любых пяти последовательных чисел всегда есть одно, которое кратно 5. Следовательно, их произведение всегда делится на 5. Второе слагаемое, $5(n-1)n(n+1)$, также делится на 5, так как содержит множитель 5.

Поскольку оба слагаемых делятся на 5, их сумма, равная $(n^5 - n)$, также делится на 5.

Мы доказали, что обе части выражения $(n^5 - n) - 5n$ делятся на 5. Следовательно, и само выражение $n^5 - 6n$ делится на 5 при любом натуральном $n$.

Заметим, что делимость $n^5 - n$ на 5 также прямо следует из Малой теоремы Ферма, которая утверждает, что $n^p - n$ делится на простое число $p$. Для $p=5$ это дает требуемый результат.

Ответ: Утверждение доказано.