Номер 283, страница 94 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

283. Найти все целые числа n, такие, что число a является целым, если:

1) $a = \frac{n^2+2}{n-1}$

2) $a = \frac{2n^2+1}{2n^2-1}$

3) $a = \frac{n^4+3n^2+7}{n^2+1}$

4) $a = \frac{n^5+3}{n^2+1}$

1) Для того, чтобы число $a = \frac{n^2 + 2}{n - 1}$ было целым, преобразуем выражение, выделив целую часть. Для этого разделим числитель на знаменатель с остатком: $n^2 + 2 = n^2 - 1 + 3 = (n-1)(n+1) + 3$. Тогда выражение для $a$ примет вид: $a = \frac{(n-1)(n+1) + 3}{n - 1} = n+1 + \frac{3}{n-1}$. Поскольку $n$ — целое число, выражение $n+1$ также является целым. Для того чтобы $a$ было целым, необходимо, чтобы дробь $\frac{3}{n-1}$ была целым числом. Это означает, что знаменатель $n-1$ должен быть делителем числа 3. Целыми делителями числа 3 являются $1, -1, 3, -3$. Рассмотрим каждый случай:

• $n-1 = 1 \implies n = 2$
• $n-1 = -1 \implies n = 0$
• $n-1 = 3 \implies n = 4$
• $n-1 = -3 \implies n = -2$

Таким образом, мы нашли все целые значения $n$, при которых $a$ является целым числом.
Ответ: $n \in \{-2, 0, 2, 4\}$.

2) Рассмотрим выражение $a = \frac{2n^2 + 1}{2n^2 - 1}$. Выделим целую часть: $a = \frac{2n^2 - 1 + 2}{2n^2 - 1} = \frac{2n^2 - 1}{2n^2 - 1} + \frac{2}{2n^2 - 1} = 1 + \frac{2}{2n^2 - 1}$. Поскольку 1 — целое число, для целочисленности $a$ необходимо, чтобы дробь $\frac{2}{2n^2 - 1}$ была целым числом. Это возможно, если знаменатель $2n^2 - 1$ является делителем числа 2. Целыми делителями числа 2 являются $1, -1, 2, -2$. Рассмотрим все случаи:

• $2n^2 - 1 = 1 \implies 2n^2 = 2 \implies n^2 = 1 \implies n = \pm 1$
• $2n^2 - 1 = -1 \implies 2n^2 = 0 \implies n^2 = 0 \implies n = 0$
• $2n^2 - 1 = 2 \implies 2n^2 = 3 \implies n^2 = 3/2$, нет целых решений для $n$
• $2n^2 - 1 = -2 \implies 2n^2 = -1 \implies n^2 = -1/2$, нет действительных решений для $n$

Следовательно, подходят только значения $n=0, 1, -1$.
Ответ: $n \in \{-1, 0, 1\}$.

3) Преобразуем выражение $a = \frac{n^4 + 3n^2 + 7}{n^2 + 1}$. Выполним деление многочлена в числителе на многочлен в знаменателе: $n^4 + 3n^2 + 7 = n^2(n^2+1) - n^2 + 3n^2 + 7 = n^2(n^2+1) + 2n^2 + 7 = n^2(n^2+1) + 2(n^2+1) - 2 + 7 = (n^2+2)(n^2+1) + 5$. Тогда $a = \frac{(n^2+2)(n^2+1) + 5}{n^2 + 1} = n^2 + 2 + \frac{5}{n^2 + 1}$. Так как $n$ — целое, $n^2+2$ тоже целое. Значит, для целочисленности $a$ необходимо, чтобы дробь $\frac{5}{n^2 + 1}$ была целым числом. Знаменатель $n^2+1$ должен быть делителем числа 5. Поскольку $n$ — целое, $n^2 \ge 0$, и $n^2+1 \ge 1$. Положительными делителями числа 5 являются 1 и 5.

• $n^2+1 = 1 \implies n^2 = 0 \implies n = 0$
• $n^2+1 = 5 \implies n^2 = 4 \implies n = \pm 2$

Таким образом, искомые значения $n$ это $0, 2, -2$.
Ответ: $n \in \{-2, 0, 2\}$.

4) Рассмотрим выражение $a = \frac{n^5 + 3}{n^2 + 1}$. Выделим целую часть путем деления многочленов: $n^5+3 = n^3(n^2+1) - n^3 + 3 = n^3(n^2+1) - n(n^2+1) + n + 3$. Таким образом, $a = \frac{n^3(n^2+1) - n(n^2+1) + n + 3}{n^2 + 1} = n^3 - n + \frac{n+3}{n^2+1}$. Поскольку $n$ — целое число, $n^3-n$ также является целым. Следовательно, $a$ будет целым тогда и только тогда, когда дробь $k = \frac{n+3}{n^2+1}$ является целым числом. Рассмотрим, при каких $n$ дробь $k$ может быть целой. Если $|n| \ge 4$, то $|n+3| \le |n|+|3| < n^2+1$. В этом случае $|k| = |\frac{n+3}{n^2+1}| < 1$, поэтому единственное возможное целое значение $k=0$. Уравнение $\frac{n+3}{n^2+1} = 0$ дает $n=-3$, что не удовлетворяет условию $|n| \ge 4$. Остается проверить целые значения $n$ от -3 до 3.

• $n=-3: k = \frac{-3+3}{(-3)^2+1} = \frac{0}{10} = 0$. Целое.
• $n=-2: k = \frac{-2+3}{(-2)^2+1} = \frac{1}{5}$. Не целое.
• $n=-1: k = \frac{-1+3}{(-1)^2+1} = \frac{2}{2} = 1$. Целое.
• $n=0: k = \frac{0+3}{0^2+1} = \frac{3}{1} = 3$. Целое.
• $n=1: k = \frac{1+3}{1^2+1} = \frac{4}{2} = 2$. Целое.
• $n=2: k = \frac{2+3}{2^2+1} = \frac{5}{5} = 1$. Целое.
• $n=3: k = \frac{3+3}{3^2+1} = \frac{6}{10}$. Не целое.

Объединяя все найденные решения, получаем искомый набор значений $n$.
Ответ: $n \in \{-3, -1, 0, 1, 2\}$.