Номер 278, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

278. Доказать, что число $a$ делится на $m$, если:

1) $a = 10^{37} - 199$, $m = 99$;

2) $a = 2^{25} + 1$, $m = 33$.

1) a = 10³⁷ - 199, m = 99;

Чтобы доказать, что число $a$ делится на $m=99$, необходимо показать, что $a \equiv 0 \pmod{99}$. Воспользуемся свойствами сравнений по модулю.

Сначала найдем остаток от деления $10^{37}$ на $99$. Заметим, что $10^2 = 100$, а $100 \equiv 1 \pmod{99}$.

Поскольку показатель степени $37$ — нечетное число, представим его как $37 = 2 \cdot 18 + 1$.

$10^{37} = 10^{2 \cdot 18 + 1} = (10^2)^{18} \cdot 10^1$.

Используя свойство сравнений, получаем:

$10^{37} \equiv 1^{18} \cdot 10 \equiv 10 \pmod{99}$.

Теперь найдем остаток от деления $199$ на $99$:

$199 = 2 \cdot 99 + 1 \equiv 1 \pmod{99}$.

Теперь мы можем найти остаток от деления всего выражения $a$:

$a = 10^{37} - 199 \equiv 10 - 1 = 9 \pmod{99}$.

Поскольку остаток от деления $a$ на $99$ равен $9$, а не $0$, то число $a$ не делится на $99$ без остатка. Таким образом, исходное утверждение неверно, вероятно, в условии задачи содержится опечатка. Например, если бы показатель степени был четным, скажем $38$, то $10^{38} \equiv 1 \pmod{99}$, и тогда $a = 10^{38} - 199 \equiv 1 - 1 = 0 \pmod{99}$, что означало бы делимость на $99$.

Ответ: Утверждение в задаче неверно, так как число $a = 10^{37} - 199$ не делится на $99$.

2) a = 2²⁵ + 1, m = 33;

Для доказательства того, что $a = 2^{25} + 1$ делится на $m = 33$, можно использовать формулу суммы нечетных степеней: $x^n + y^n$ делится на $x+y$, если показатель степени $n$ является нечетным числом.

Представим число $a$ в виде, подходящем для применения этой формулы:

$a = 2^{25} + 1 = (2^5)^5 + 1^5$.

В этом выражении мы имеем $x = 2^5$, $y = 1$ и $n=5$. Поскольку степень $n=5$ — нечетное число, то выражение $(2^5)^5 + 1^5$ должно делиться на сумму оснований $2^5 + 1$.

Вычислим значение этого делителя:

$2^5 + 1 = 32 + 1 = 33$.

Таким образом, мы показали, что $a = 2^{25} + 1$ делится на $33$.

Ответ: Утверждение верно, число $a$ делится на $m$.