Номер 272, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

272. Доказать, что число $n^3 + 3n^2 + 8n + 82$ не делится на 3 ни при каком $n \in N$.

Чтобы доказать, что число $n^3 + 3n^2 + 8n + 82$ не делится на 3 ни при каком натуральном $n \in N$, можно рассмотреть остаток от деления данного выражения на 3. Приведем два способа доказательства.

Способ 1: Метод перебора остатков

Любое натуральное число $n$ при делении на 3 может давать один из трех остатков: 0, 1 или 2. Проверим каждый из этих случаев, используя сравнения по модулю 3.

Обозначим данное выражение как $A(n) = n^3 + 3n^2 + 8n + 82$. Упростим его по модулю 3, используя свойства сравнений:

• Слагаемое $3n^2$ всегда делится на 3, поэтому $3n^2 \equiv 0 \pmod{3}$.
• Коэффициент 8 при делении на 3 дает остаток 2, поэтому $8n \equiv 2n \pmod{3}$.
• Число 82 при делении на 3 дает остаток 1 (так как $82 = 3 \cdot 27 + 1$), поэтому $82 \equiv 1 \pmod{3}$.

Таким образом, все выражение $A(n)$ по модулю 3 эквивалентно следующему:

$A(n) \equiv n^3 + 0 + 2n + 1 \pmod{3}$

$A(n) \equiv n^3 + 2n + 1 \pmod{3}$

Теперь рассмотрим все три возможных случая для $n$:

• Если $n \equiv 0 \pmod{3}$, то $A(n) \equiv 0^3 + 2 \cdot 0 + 1 \equiv 1 \pmod{3}$.
• Если $n \equiv 1 \pmod{3}$, то $A(n) \equiv 1^3 + 2 \cdot 1 + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 \equiv 1 \pmod{3}$.
• Если $n \equiv 2 \pmod{3}$, то $A(n) \equiv 2^3 + 2 \cdot 2 + 1 = 8 + 4 + 1 = 13 \equiv 1 \pmod{3}$.

Во всех возможных случаях остаток от деления выражения на 3 равен 1. Следовательно, оно никогда не делится на 3 нацело.

Способ 2: Алгебраические преобразования

Преобразуем исходное выражение $A(n) = n^3 + 3n^2 + 8n + 82$, выделив в нем слагаемые, которые гарантированно делятся на 3.

Воспользуемся известным фактом: произведение трех последовательных целых чисел $(n-1)n(n+1) = n^3 - n$ всегда делится на 3. Выделим это выражение в $A(n)$:

$A(n) = (n^3 - n) + n + 3n^2 + 8n + 82$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$A(n) = (n^3 - n) + 3n^2 + (n + 8n) + 82$

$A(n) = (n^3 - n) + 3n^2 + 9n + 82$

Теперь представим число 82 в виде суммы $81 + 1$, где 81 кратно 3:

$A(n) = (n^3 - n) + 3n^2 + 9n + 81 + 1$

Рассмотрим полученную сумму. Каждое из первых четырех слагаемых делится на 3:

• $(n^3 - n)$ делится на 3 как произведение трех последовательных чисел.
• $3n^2$ делится на 3.
• $9n$ делится на 3.
• $81$ делится на 3.

Поскольку сумма всех этих слагаемых делится на 3, остаток от деления всего выражения $A(n)$ на 3 определяется последним слагаемым, которое равно 1.

Ответ:

При любом натуральном $n$ выражение $n^3 + 3n^2 + 8n + 82$ при делении на 3 дает остаток 1. Следовательно, данное число не делится на 3 ни при каком $n \in N$, что и требовалось доказать.