Номер 274, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

274. Доказать, что при любых натуральных m и n число $(3m + 5n + 7)^3(7m + n + 2)^4$ делится на 8.

Чтобы доказать, что выражение $(3m + 5n + 7)^3(7m + n + 2)^4$ делится на 8 при любых натуральных $m$ и $n$, проанализируем четность множителей этого выражения.

Обозначим первый множитель как $A = 3m + 5n + 7$, а второй как $B = 7m + n + 2$. Тогда исходное выражение имеет вид $A^3 B^4$. Для делимости на 8 нам нужно показать, что в произведении есть достаточное количество двоек.

Рассмотрим сумму этих двух выражений, $A$ и $B$: $A + B = (3m + 5n + 7) + (7m + n + 2) = 10m + 6n + 9$.

Так как $m$ и $n$ — натуральные числа, то $10m$ и $6n$ всегда являются четными числами. Их сумма $10m + 6n$ также всегда четна. Если к четному числу прибавить нечетное число 9, то результат всегда будет нечетным.

Следовательно, сумма $A + B$ всегда является нечетным числом.

Сумма двух целых чисел является нечетной тогда и только тогда, когда одно из слагаемых четное, а другое — нечетное. Это означает, что для любой пары натуральных чисел $m$ и $n$ одно из чисел, $A$ или $B$, будет четным, а другое — нечетным.

Теперь рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $A = 3m + 5n + 7$ является четным числом.

Если $A$ — четное, то его можно представить в виде $A = 2k$ для некоторого целого числа $k$. В этом случае исходное выражение будет равно: $(2k)^3 B^4 = 8k^3 B^4$.

Поскольку это выражение содержит множитель 8, оно делится на 8 нацело.

Случай 2: $B = 7m + n + 2$ является четным числом.

Если $B$ — четное, то его можно представить в виде $B = 2j$ для некоторого целого числа $j$. В этом случае исходное выражение будет равно: $A^3 (2j)^4 = A^3 \cdot 16j^4 = 8 \cdot (2A^3 j^4)$.

Это выражение также содержит множитель 8 и, следовательно, делится на 8 нацело.

Поскольку при любых натуральных $m$ и $n$ обязательно выполняется один из этих двух случаев, исходное выражение всегда будет делиться на 8. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что при любых натуральных $m$ и $n$ число $(3m + 5n + 7)^3(7m + n + 2)^4$ делится на 8.