Номер 270, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

270. Найти последнюю цифру числа a, если:

1) $a = 72^{125} + 43^{421}$

2) $a = 43^{43} - 17^{17}$

1) Для нахождения последней цифры числа $a = 72^{125} + 43^{421}$ мы найдем последние цифры каждого из слагаемых, а затем последнюю цифру их суммы. Последняя цифра результата возведения в степень зависит только от последней цифры основания.

Найдем последнюю цифру числа $72^{125}$. Она такая же, как и последняя цифра числа $2^{125}$. Рассмотрим, как меняются последние цифры у степеней числа 2:
$2^1$ оканчивается на 2
$2^2$ оканчивается на 4
$2^3$ оканчивается на 8
$2^4$ оканчивается на 6
$2^5$ оканчивается на 2
Последовательность последних цифр (2, 4, 8, 6) является циклической с периодом 4. Чтобы найти последнюю цифру для $2^{125}$, нужно найти остаток от деления показателя степени 125 на 4:
$125 = 4 \cdot 31 + 1$.
Остаток равен 1, это значит, что последняя цифра числа $72^{125}$ будет такой же, как и у $2^1$, то есть 2.

Найдем последнюю цифру числа $43^{421}$. Она совпадает с последней цифрой числа $3^{421}$. Рассмотрим последние цифры степеней числа 3:
$3^1$ оканчивается на 3
$3^2$ оканчивается на 9
$3^3$ оканчивается на 7
$3^4$ оканчивается на 1
$3^5$ оканчивается на 3
Последовательность последних цифр (3, 9, 7, 1) также циклична с периодом 4. Найдем остаток от деления 421 на 4:
$421 = 4 \cdot 105 + 1$.
Остаток равен 1, следовательно, последняя цифра $43^{421}$ такая же, как у $3^1$, то есть 3.

Последняя цифра числа $a$ равна последней цифре суммы $2 + 3 = 5$.
Ответ: 5.

2) Для нахождения последней цифры числа $a = 43^{43} - 17^{17}$ мы найдем последние цифры уменьшаемого и вычитаемого, а затем найдем последнюю цифру их разности.

Найдем последнюю цифру числа $43^{43}$. Она равна последней цифре $3^{43}$. Период цикла последних цифр у степеней тройки равен 4 (3, 9, 7, 1). Найдем остаток от деления 43 на 4:
$43 = 4 \cdot 10 + 3$.
Остаток равен 3. Значит, последняя цифра $43^{43}$ совпадает с третьей в цикле, то есть с последней цифрой $3^3$, которая равна 7.

Найдем последнюю цифру числа $17^{17}$. Она равна последней цифре $7^{17}$. Рассмотрим последние цифры степеней числа 7:
$7^1$ оканчивается на 7
$7^2$ оканчивается на 9
$7^3$ оканчивается на 3
$7^4$ оканчивается на 1
$7^5$ оканчивается на 7
Последовательность последних цифр (7, 9, 3, 1) циклична с периодом 4. Найдем остаток от деления 17 на 4:
$17 = 4 \cdot 4 + 1$.
Остаток равен 1. Это значит, что последняя цифра $17^{17}$ совпадает с первой в цикле, то есть с последней цифрой $7^1$, которая равна 7.

Последняя цифра числа $a$ равна последней цифре разности (...7) − (...7).
Так как $7 - 7 = 0$, последняя цифра числа $a$ равна 0.
Ответ: 0.