Номер 277, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

277. Доказать, что не имеет решений в целых числах уравнение:

1) $13x^2 + 1 = 3y^2$;

2) $9x^2 = y^2 + 74$.

1) Для доказательства того, что уравнение $13x^2 + 1 = 3y^2$ не имеет решений в целых числах ($x, y \in \mathbb{Z}$), воспользуемся методом сравнений по модулю.

Рассмотрим данное уравнение по модулю 3. $13x^2 + 1 \equiv 3y^2 \pmod{3}$.

Так как $3y^2$ делится на 3, то $3y^2 \equiv 0 \pmod{3}$. Коэффициент $13$ при делении на 3 дает остаток 1, то есть $13 \equiv 1 \pmod{3}$. Подставив эти значения в наше сравнение, получим: $1 \cdot x^2 + 1 \equiv 0 \pmod{3}$, что эквивалентно $x^2 \equiv -1 \pmod{3}$ или $x^2 \equiv 2 \pmod{3}$.

Теперь проверим, какие остатки может давать квадрат целого числа при делении на 3. Любое целое число $x$ при делении на 3 может давать остаток 0, 1 или 2.

• Если $x \equiv 0 \pmod{3}$, то $x^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{3}$.
• Если $x \equiv 1 \pmod{3}$, то $x^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{3}$.
• Если $x \equiv 2 \pmod{3}$, то $x^2 \equiv 2^2 = 4 \equiv 1 \pmod{3}$.

Таким образом, квадрат любого целого числа при делении на 3 может давать в остатке только 0 или 1. Остаток 2 невозможен. Поскольку сравнение $x^2 \equiv 2 \pmod{3}$ не имеет решений в целых числах, то и исходное уравнение $13x^2 + 1 = 3y^2$ не может иметь решений в целых числах.

Ответ: Доказано, что уравнение не имеет решений в целых числах.

2) Для доказательства того, что уравнение $9x^2 = y^2 + 74$ не имеет решений в целых числах ($x, y \in \mathbb{Z}$), преобразуем его и проанализируем делимость.

Перенесем $y^2$ в левую часть, чтобы получить разность квадратов: $9x^2 - y^2 = 74$ $(3x)^2 - y^2 = 74$.

Разложим левую часть на множители: $(3x - y)(3x + y) = 74$.

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то $(3x - y)$ и $(3x + y)$ также являются целыми числами. Пусть $A = 3x - y$ и $B = 3x + y$. Эти числа являются делителями числа 74.

Рассмотрим разность этих двух множителей: $B - A = (3x + y) - (3x - y) = 2y$. Так как $y$ — целое число, разность $B - A$ всегда является четным числом. Если разность двух целых чисел $A$ и $B$ четна, это означает, что они имеют одинаковую четность (то есть либо оба четные, либо оба нечетные).

Теперь посмотрим на их произведение: $A \cdot B = 74$. Произведение 74 — четное число, значит, по крайней мере один из множителей ($A$ или $B$) должен быть четным. Так как мы установили, что $A$ и $B$ имеют одинаковую четность, то они не могут быть оба нечетными. Следовательно, и $A$, и $B$ должны быть четными числами.

Если $A$ и $B$ оба четные, то их произведение $A \cdot B$ должно быть кратно 4 (так как $A=2k$, $B=2m$, $A \cdot B = 4km$). Однако число $74$ не делится нацело на 4 ($74 = 4 \cdot 18 + 2$).

Мы пришли к противоречию. С одной стороны, из структуры множителей следует, что они оба должны быть четными. С другой стороны, их произведение 74 не делится на 4, что невозможно для двух четных чисел. Это противоречие доказывает, что не существует таких целых чисел $x$ и $y$, которые удовлетворяли бы исходному уравнению.

Ответ: Доказано, что уравнение не имеет решений в целых числах.