Номер 267, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

267. 1) Найти все натуральные числа x, y, при которых является верным равенство $2x^2 + 5xy - 12y^2 = 6$.

2) Найти все целые положительные числа x, y, при которых является верным равенство $2x^2 - xy - y^2 + 2x + 7y = 28$.

1) Дано уравнение $2x^2 + 5xy - 12y^2 = 6$, где $x$ и $y$ — натуральные числа.

Разложим левую часть уравнения на множители. Для этого рассмотрим ее как квадратный трехчлен относительно переменной $x$. $2x^2 + (5y)x - 12y^2 = 0$ Найдем дискриминант: $\Delta = (5y)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-12y^2) = 25y^2 + 96y^2 = 121y^2 = (11y)^2$.

Корни уравнения для $x$ равны: $x_1 = \frac{-5y + \sqrt{(11y)^2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5y + 11y}{4} = \frac{6y}{4} = \frac{3y}{2}$ $x_2 = \frac{-5y - \sqrt{(11y)^2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5y - 11y}{4} = \frac{-16y}{4} = -4y$

Следовательно, левую часть можно разложить на множители следующим образом: $2(x - \frac{3y}{2})(x - (-4y)) = (2x - 3y)(x + 4y)$.

Таким образом, исходное уравнение принимает вид: $(2x - 3y)(x + 4y) = 6$.

Поскольку $x$ и $y$ — натуральные числа, то есть $x \ge 1$ и $y \ge 1$, то множитель $(x + 4y)$ является целым положительным числом. Более того, $x + 4y \ge 1 + 4 \cdot 1 = 5$. Так как произведение $(2x - 3y)(x + 4y)$ равно положительному числу 6, и $(x + 4y) > 0$, то и множитель $(2x - 3y)$ должен быть положительным целым числом.

Рассмотрим все пары целых положительных множителей числа 6: (1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1). Учитывая условие $x + 4y \ge 5$, нам подходит только та пара, в которой второй множитель не меньше 5. Это пара (1, 6).

Таким образом, мы получаем систему уравнений: $\begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ x + 4y = 6 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$: $x = 6 - 4y$. Подставим это выражение в первое уравнение: $2(6 - 4y) - 3y = 1$ $12 - 8y - 3y = 1$ $12 - 11y = 1$ $11y = 11$ $y = 1$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$: $x = 6 - 4(1) = 2$.

Мы получили пару натуральных чисел $(x, y) = (2, 1)$. Это единственное решение.

Ответ: $(2, 1)$.

2) Дано уравнение $2x^2 - xy - y^2 + 2x + 7y = 28$, где $x$ и $y$ — целые положительные числа (натуральные).

Попробуем разложить левую часть на множители. Сначала сгруппируем и разложим квадратичную часть $2x^2 - xy - y^2$: $2x^2 - 2xy + xy - y^2 = 2x(x-y) + y(x-y) = (2x+y)(x-y)$.

Теперь уравнение выглядит так: $(x-y)(2x+y) + 2x + 7y = 28$.

Попытаемся представить всю левую часть в виде произведения двух скобок. Для этого ищутся такие константы $a$ и $b$, чтобы выражение $(x-y+a)(2x+y+b)$ было похоже на левую часть уравнения. $(x-y+a)(2x+y+b) = (x-y)(2x+y) + b(x-y) + a(2x+y) + ab$ $= (x-y)(2x+y) + (2a+b)x + (a-b)y + ab$.

Сравнивая с нашим уравнением, мы хотим, чтобы линейная часть совпадала: $(2a+b)x + (a-b)y = 2x + 7y$. Это дает нам систему уравнений для $a$ и $b$: $\begin{cases} 2a + b = 2 \\ a - b = 7 \end{cases}$

Сложив эти два уравнения, получаем $3a = 9$, откуда $a=3$. Подставив $a=3$ во второе уравнение, находим $b = a - 7 = 3 - 7 = -4$.

Теперь наше исходное уравнение можно переписать, используя найденные $a$ и $b$: $(x-y+3)(2x+y-4) - ab = 28$ $(x-y+3)(2x+y-4) - (3)(-4) = 28$ $(x-y+3)(2x+y-4) + 12 = 28$ $(x-y+3)(2x+y-4) = 16$

Пусть $U = x-y+3$ и $V = 2x+y-4$. $U$ и $V$ — целые числа, произведение которых равно 16. Рассмотрим сумму $U+V = (x-y+3)+(2x+y-4) = 3x-1$. Поскольку $x$ — натуральное число ($x \ge 1$), то $3x-1 \ge 3(1)-1 = 2$.

Пары целых множителей числа 16: (1, 16), (2, 8), (4, 4), (8, 2), (16, 1) и соответствующие им отрицательные пары. Рассмотрим положительные пары $(U, V)$ и проверим условие $U+V \ge 2$:

• $(U,V) = (1, 16)$: $U+V = 17 \ge 2$. Решаем систему: $\begin{cases} x-y+3 = 1 \\ 2x+y-4 = 16 \end{cases} \implies \begin{cases} x-y = -2 \\ 2x+y = 20 \end{cases}$. Сложив уравнения, получаем $3x=18 \implies x=6$. Тогда $y=x+2=8$. Решение $(6, 8)$ подходит.
• $(U,V) = (2, 8)$: $U+V = 10 \ge 2$. Решаем систему: $\begin{cases} x-y+3 = 2 \\ 2x+y-4 = 8 \end{cases} \implies \begin{cases} x-y = -1 \\ 2x+y = 12 \end{cases}$. Сложив уравнения, получаем $3x=11$. $x$ не целое, нет решений.
• $(U,V) = (4, 4)$: $U+V = 8 \ge 2$. Решаем систему: $\begin{cases} x-y+3 = 4 \\ 2x+y-4 = 4 \end{cases} \implies \begin{cases} x-y = 1 \\ 2x+y = 8 \end{cases}$. Сложив уравнения, получаем $3x=9 \implies x=3$. Тогда $y=x-1=2$. Решение $(3, 2)$ подходит.
• $(U,V) = (8, 2)$: $U+V = 10 \ge 2$. Решаем систему: $\begin{cases} x-y+3 = 8 \\ 2x+y-4 = 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x-y = 5 \\ 2x+y = 6 \end{cases}$. Сложив уравнения, получаем $3x=11$. $x$ не целое, нет решений.
• $(U,V) = (16, 1)$: $U+V = 17 \ge 2$. Решаем систему: $\begin{cases} x-y+3 = 16 \\ 2x+y-4 = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x-y = 13 \\ 2x+y = 5 \end{cases}$. Сложив уравнения, получаем $3x=18 \implies x=6$. Тогда $y=x-13 = -7$. $y$ не положительное, нет решений.

Отрицательные пары множителей (например, (-1, -16)) дадут отрицательную сумму $U+V$, что противоречит условию $U+V \ge 2$. Следовательно, других решений нет.

Ответ: $(6, 8), (3, 2)$.