Номер 261, страница 89 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

261. Найти остаток от деления числа:

1) $25^{26} + 29^{26}$ на 3;

2) $2^{367} + 43$ на 17;

3) $2^{1995} + 5 \cdot 10^3$ на 3;

4) $2^{76} + 3 \cdot 10^{18}$ на 9.

1) Воспользуемся свойствами сравнений по модулю. Найдем остатки от деления оснований степеней на 3. $25 = 3 \cdot 8 + 1$, следовательно, $25 \equiv 1 \pmod{3}$. $29 = 3 \cdot 9 + 2$, следовательно, $29 \equiv 2 \pmod{3}$, что эквивалентно $29 \equiv -1 \pmod{3}$. Подставим эти сравнения в исходное выражение: $25^{26} + 29^{26} \equiv 1^{26} + (-1)^{26} \pmod{3}$. Поскольку показатель степени 26 — четное число, $(-1)^{26} = 1$. В результате получаем: $1^{26} + (-1)^{26} = 1 + 1 = 2$. Таким образом, остаток от деления числа $25^{26} + 29^{26}$ на 3 равен 2.
Ответ: 2

2) Найдем остаток от деления каждого слагаемого на 17. Для числа 43 имеем: $43 = 2 \cdot 17 + 9$, значит, $43 \equiv 9 \pmod{17}$. Для нахождения остатка от деления $2^{367}$ на 17 воспользуемся малой теоремой Ферма, так как 17 — простое число. Согласно этой теореме, $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ для любого целого $a$, не делящегося на простое $p$. В нашем случае $a=2$ и $p=17$, поэтому $2^{17-1} = 2^{16} \equiv 1 \pmod{17}$. Представим показатель степени 367 в виде $367 = 16 \cdot 22 + 15$. Тогда $2^{367} = 2^{16 \cdot 22 + 15} = (2^{16})^{22} \cdot 2^{15}$. Используя сравнение, получаем $2^{367} \equiv 1^{22} \cdot 2^{15} \equiv 2^{15} \pmod{17}$. Для вычисления $2^{15} \pmod{17}$ удобно заметить, что $2^4 = 16 \equiv -1 \pmod{17}$. Тогда $2^{15} = 2^{4 \cdot 3 + 3} = (2^4)^3 \cdot 2^3 \equiv (-1)^3 \cdot 8 = -8 \pmod{17}$. Так как $-8 \equiv 9 \pmod{17}$, то $2^{367} \equiv 9 \pmod{17}$. Теперь сложим остатки: $2^{367} + 43 \equiv 9 + 9 = 18 \pmod{17}$. Наконец, $18 \equiv 1 \pmod{17}$.
Ответ: 1

3) Найдем остаток от деления выражения на 3, используя свойства сравнений. Для первого слагаемого $2^{1995}$ заметим, что $2 \equiv -1 \pmod{3}$. Тогда $2^{1995} \equiv (-1)^{1995} \pmod{3}$. Поскольку 1995 — нечетное число, $(-1)^{1995} = -1$. Таким образом, $2^{1995} \equiv -1 \equiv 2 \pmod{3}$. Для второго слагаемого $5 \cdot 10^3$ найдем остатки для каждого множителя: $5 \equiv 2 \pmod{3}$ и $10 \equiv 1 \pmod{3}$. Следовательно, $5 \cdot 10^3 \equiv 2 \cdot 1^3 = 2 \pmod{3}$. Теперь сложим остатки обоих слагаемых: $2^{1995} + 5 \cdot 10^3 \equiv 2 + 2 = 4 \pmod{3}$. Так как $4 \equiv 1 \pmod{3}$, искомый остаток равен 1.
Ответ: 1

4) Найдем остаток от деления выражения на 9. Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности. Для слагаемого $3 \cdot 10^{18}$ имеем $10 \equiv 1 \pmod{9}$, поэтому $10^{18} \equiv 1^{18} \equiv 1 \pmod{9}$. Тогда $3 \cdot 10^{18} \equiv 3 \cdot 1 = 3 \pmod{9}$. Для слагаемого $2^{76}$ воспользуемся теоремой Эйлера. Значение функции Эйлера для 9 равно $\phi(9) = 9(1 - 1/3) = 6$. Так как числа 2 и 9 взаимно просты, то по теореме Эйлера $2^{\phi(9)} = 2^6 \equiv 1 \pmod{9}$. Представим показатель степени 76 в виде $76 = 12 \cdot 6 + 4$. Отсюда $2^{76} = 2^{12 \cdot 6 + 4} = (2^6)^{12} \cdot 2^4$. Используя сравнение, получаем $2^{76} \equiv 1^{12} \cdot 2^4 = 16 \pmod{9}$. Поскольку $16 \equiv 7 \pmod{9}$, то $2^{76} \equiv 7 \pmod{9}$. Наконец, сложим остатки обоих слагаемых: $2^{76} + 3 \cdot 10^{18} \equiv 7 + 3 = 10 \pmod{9}$. Так как $10 \equiv 1 \pmod{9}$, искомый остаток равен 1.
Ответ: 1