Номер 2, страница 94 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

2. Натуральные числа $a$ и $b$ не делятся на натуральное число $m$. Можно ли утверждать, что на $m$ не делится:

1) их сумма;

2) их произведение?

1) их сумма

Нет, утверждать, что сумма $a+b$ не делится на $m$, в общем случае нельзя. Сумма двух чисел, каждое из которых не делится на $m$, может делиться на $m$.

Чтобы доказать это, достаточно привести контрпример. Условие, что число не делится на $m$, означает, что остаток от его деления на $m$ не равен нулю. Пусть число $a$ при делении на $m$ дает остаток $r_1$ ($a = q_1 m + r_1$, где $0 < r_1 < m$), а число $b$ дает остаток $r_2$ ($b = q_2 m + r_2$, где $0 < r_2 < m$).

Их сумма равна $a+b = (q_1 + q_2)m + (r_1 + r_2)$. Эта сумма будет делиться на $m$, если сумма остатков $(r_1 + r_2)$ будет кратна $m$. Мы можем подобрать такие $a$ и $b$, что это условие выполнится.

Например, пусть $m = 10$, $a = 4$, $b = 6$.
Число $a=4$ не делится на 10 (остаток 4).
Число $b=6$ не делится на 10 (остаток 6).
Однако их сумма $a+b = 4+6=10$ делится на 10.

Ответ: нет, утверждать нельзя.

2) их произведение

Нет, утверждать, что произведение $a \cdot b$ не делится на $m$, также нельзя. Ответ на этот вопрос зависит от того, является ли число $m$ простым или составным.

Если $m$ — простое число, то утверждение будет верным. Согласно лемме Евклида, если произведение $a \cdot b$ делится на простое число $m$, то хотя бы один из множителей ($a$ или $b$) должен делиться на $m$. По условию, ни $a$, ни $b$ не делятся на $m$, значит, и их произведение не разделится на простое $m$.

Однако если $m$ — составное число, утверждение может быть неверным. Составное число можно представить в виде произведения двух множителей, которые меньше самого числа. То есть $m = x \cdot y$, где $1 < x < m$ и $1 < y < m$.

Приведем контрпример. Пусть $m=6$ (составное число). Возьмем в качестве $a$ и $b$ его множители: $a=2$ и $b=3$.
Число $a=2$ не делится на 6.
Число $b=3$ не делится на 6.
При этом их произведение $a \cdot b = 2 \cdot 3 = 6$ делится на 6.

Поскольку в условии задачи не указано, что $m$ является простым, мы рассматриваем общий случай, для которого данное утверждение неверно.

Ответ: нет, утверждать нельзя.