Номер 5, страница 94 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

5. Найти количество натуральных чисел, являющихся делителями числа a (включая единицу и само число a), если:

1) $a = 64$;

2) $a = 600$.

Для того чтобы найти количество натуральных делителей числа, необходимо использовать его каноническое разложение на простые множители. Если число $a$ имеет вид $a = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{k_n}$, где $p_1, p_2, \ldots, p_n$ – это различные простые множители, а $k_1, k_2, \ldots, k_n$ – их натуральные степени, то общее количество натуральных делителей этого числа (обозначается $\tau(a)$) можно вычислить по формуле:

$\tau(a) = (k_1 + 1)(k_2 + 1)\ldots(k_n + 1)$

Эта формула основана на том, что любой делитель числа $a$ составляется из тех же простых множителей, но взятых в степенях от 0 до той, что в разложении числа $a$.

1) a = 64;

Первым шагом разложим число 64 на простые множители. Число 64 является степенью числа 2.

$64 = 8 \cdot 8 = 2^3 \cdot 2^3 = 2^{3+3} = 2^6$

Таким образом, каноническое разложение числа 64 имеет вид $64 = 2^6$. В этом разложении один простой множитель $p_1 = 2$ со степенью $k_1 = 6$.

Теперь применим формулу для нахождения количества делителей:

$\tau(64) = (6 + 1) = 7$

Делителями числа 64 являются: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. Их действительно 7.

Ответ: 7

2) a = 600.

Разложим число 600 на простые множители:

$600 = 6 \cdot 100 = (2 \cdot 3) \cdot (10 \cdot 10) = (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5)$

Сгруппировав одинаковые множители, получим каноническое разложение:

$600 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^2$

В этом разложении три различных простых множителя:

• $p_1 = 2$ со степенью $k_1 = 3$
• $p_2 = 3$ со степенью $k_2 = 1$
• $p_3 = 5$ со степенью $k_3 = 2$

Применим формулу для количества делителей, перемножив увеличенные на единицу степени:

$\tau(600) = (k_1 + 1)(k_2 + 1)(k_3 + 1) = (3 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 4 \cdot 2 \cdot 3 = 24$

Следовательно, у числа 600 существует 24 натуральных делителя.

Ответ: 24