Страница 102 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Найти частное (287–288).

1) $(x^2 + 3x - 4) : (x + 4);$

2) $(x^2 - 7x + 10) : (x - 5);$

3) $(6x^3 + 7x^2 - 6x + 1) : (3x - 1);$

4) $(4x^3 - 5x^2 + 6x + 9) : (4x + 3).$

1) $(x^2 + 3x - 4) : (x + 4)$

Для решения этой задачи разложим делимое $(x^2 + 3x - 4)$ на множители. Это квадратный трехчлен вида $ax^2 + bx + c$. Найдем его корни, решив уравнение $x^2 + 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, а их произведение равно $-4$. Этими числами являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.

Тогда квадратный трехчлен можно разложить на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$x^2 + 3x - 4 = 1 \cdot (x - 1)(x - (-4)) = (x - 1)(x + 4)$.

Теперь выполним деление:

$(x^2 + 3x - 4) : (x + 4) = \frac{(x - 1)(x + 4)}{x + 4} = x - 1$.

Ответ: $x - 1$.

2) $(x^2 - 7x + 10) : (x - 5)$

Разложим на множители делимое $(x^2 - 7x + 10)$. Для этого найдем корни уравнения $x^2 - 7x + 10 = 0$. Согласно теореме Виета, сумма корней равна $7$, а их произведение равно $10$. Этими числами являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.

Следовательно, разложение на множители имеет вид: $x^2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5)$.

Теперь выполним деление многочленов:

$(x^2 - 7x + 10) : (x - 5) = \frac{(x - 2)(x - 5)}{x - 5} = x - 2$.

Ответ: $x - 2$.

3) $(6x^3 + 7x^2 - 6x + 1) : (3x - 1)$

Для деления многочлена на многочлен воспользуемся методом деления "в столбик". Сначала разделим старший член делимого $6x^3$ на старший член делителя $3x$, получим $2x^2$. Это будет первый член частного. Умножим $2x^2$ на делитель $(3x - 1)$ и получим $6x^3 - 2x^2$. Вычтем это выражение из делимого: $(6x^3 + 7x^2 - 6x + 1) - (6x^3 - 2x^2) = 9x^2 - 6x + 1$.

Теперь разделим старший член полученного остатка $9x^2$ на старший член делителя $3x$, получим $3x$. Это второй член частного. Умножим $3x$ на $(3x - 1)$ и получим $9x^2 - 3x$. Вычтем это из текущего остатка: $(9x^2 - 6x + 1) - (9x^2 - 3x) = -3x + 1$.

Наконец, разделим старший член нового остатка $-3x$ на старший член делителя $3x$, получим $-1$. Это третий член частного. Умножим $-1$ на $(3x - 1)$, что равно $-3x + 1$. Вычитание из последнего остатка дает $0$.

Таким образом, деление выполнено без остатка, и частное равно $2x^2 + 3x - 1$.

Ответ: $2x^2 + 3x - 1$.

4) $(4x^3 - 5x^2 + 6x + 9) : (4x + 3)$

Применим метод деления многочленов "в столбик". Разделим $4x^3$ на $4x$, чтобы получить первый член частного: $x^2$. Умножаем $x^2$ на делитель $(4x + 3)$ и получаем $4x^3 + 3x^2$. Вычитаем это из делимого: $(4x^3 - 5x^2 + 6x + 9) - (4x^3 + 3x^2) = -8x^2 + 6x + 9$.

Далее, делим старший член остатка $-8x^2$ на $4x$, чтобы получить второй член частного: $-2x$. Умножаем $-2x$ на $(4x + 3)$, получаем $-8x^2 - 6x$. Вычитаем из текущего остатка: $(-8x^2 + 6x + 9) - (-8x^2 - 6x) = 12x + 9$.

На последнем шаге делим $12x$ на $4x$ и получаем третий член частного: $3$. Умножаем $3$ на $(4x + 3)$, что дает $12x + 9$. Вычитание дает остаток $0$.

Деление выполнено нацело. Частное равно $x^2 - 2x + 3$.

Ответ: $x^2 - 2x + 3$.