Номер 250, страница 84 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

250. Пусть натуральные числа $a$, $b$ и $c$ не делятся на 3. Доказать, что число $a^2+b^2+c^2$ делится на 3.

Для решения этой задачи воспользуемся теорией сравнений по модулю.По условию, натуральные числа $a$, $b$ и $c$ не делятся на 3. Это означает, что при делении на 3 каждое из этих чисел может давать в остатке либо 1, либо 2. Любое натуральное число $n$, не кратное 3, можно представить в одной из двух форм: $n = 3k + 1$ или $n = 3k + 2$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число.Рассмотрим, какой остаток дает при делении на 3 квадрат натурального числа $n$, которое само не делится на 3.1. Если число $n$ при делении на 3 дает в остатке 1, то $n \equiv 1 \pmod{3}$.Возведем это сравнение в квадрат:$n^2 \equiv 1^2 \pmod{3}$$n^2 \equiv 1 \pmod{3}$Это означает, что квадрат такого числа при делении на 3 дает в остатке 1.2. Если число $n$ при делении на 3 дает в остатке 2, то $n \equiv 2 \pmod{3}$.Возведем это сравнение в квадрат:$n^2 \equiv 2^2 \pmod{3}$$n^2 \equiv 4 \pmod{3}$Поскольку $4$ при делении на $3$ дает в остатке $1$, то $4 \equiv 1 \pmod{3}$. Следовательно:$n^2 \equiv 1 \pmod{3}$И в этом случае квадрат числа при делении на 3 дает в остатке 1.Таким образом, мы доказали, что квадрат любого натурального числа, не делящегося на 3, при делении на 3 всегда дает в остатке 1.Поскольку по условию числа $a$, $b$ и $c$ не делятся на 3, для их квадратов справедливы следующие сравнения:$a^2 \equiv 1 \pmod{3}$$b^2 \equiv 1 \pmod{3}$$c^2 \equiv 1 \pmod{3}$Теперь найдем, с чем сравнима по модулю 3 сумма их квадратов $a^2 + b^2 + c^2$:$a^2 + b^2 + c^2 \equiv 1 + 1 + 1 \pmod{3}$$a^2 + b^2 + c^2 \equiv 3 \pmod{3}$$a^2 + b^2 + c^2 \equiv 0 \pmod{3}$Сравнение $a^2 + b^2 + c^2 \equiv 0 \pmod{3}$ означает, что число $a^2 + b^2 + c^2$ делится на 3 без остатка, что и требовалось доказать.

Ответ: Поскольку любое натуральное число, не кратное 3, при возведении в квадрат дает остаток 1 при делении на 3, то сумма $a^2 + b^2 + c^2$ будет давать остаток $1+1+1=3$ при делении на 3. А число, дающее остаток 3 при делении на 3, делится на 3 нацело.