Номер 249, страница 84 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

249. Доказать, что натуральные числа $m$ и $n$ делятся на 3, если число $m^2 + n^2$ делятся на 3.

Для доказательства воспользуемся методом анализа остатков при делении на 3 (сравнениями по модулю 3). По условию задачи дано, что сумма $m^2 + n^2$ делится на 3. На языке сравнений это записывается как $m^2 + n^2 \equiv 0 \pmod{3}$.

Рассмотрим, какие остатки при делении на 3 может давать квадрат любого натурального числа k. Любое натуральное число при делении на 3 может давать остаток 0, 1 или 2.

- Если число k делится на 3 ($k \equiv 0 \pmod{3}$), то его квадрат $k^2$ также делится на 3. Например, $k=3q$, тогда $k^2 = (3q)^2 = 9q^2$. Остаток от деления на 3 равен 0. То есть, $k^2 \equiv 0 \pmod{3}$.
- Если число k дает остаток 1 при делении на 3 ($k \equiv 1 \pmod{3}$), то его квадрат $k^2$ также дает остаток 1. Например, $k=3q+1$, тогда $k^2 = (3q+1)^2 = 9q^2+6q+1 = 3(3q^2+2q)+1$. Остаток равен 1. То есть, $k^2 \equiv 1 \pmod{3}$.
- Если число k дает остаток 2 при делении на 3 ($k \equiv 2 \pmod{3}$), то его квадрат $k^2$ дает остаток 1. Например, $k=3q+2$, тогда $k^2 = (3q+2)^2 = 9q^2+12q+4 = 3(3q^2+4q+1)+1$. Остаток равен 1. То есть, $k^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3}$.

Таким образом, квадрат любого натурального числа при делении на 3 может давать в остатке только 0 или 1. Следовательно, остатки от деления $m^2$ и $n^2$ на 3 могут быть только 0 или 1.

Теперь рассмотрим сумму остатков $m^2 + n^2$ при делении на 3. Возможны следующие варианты:
- Остаток($m^2$) = 0, Остаток($n^2$) = 0. Сумма остатков: $0 + 0 = 0$.
- Остаток($m^2$) = 0, Остаток($n^2$) = 1. Сумма остатков: $0 + 1 = 1$.
- Остаток($m^2$) = 1, Остаток($n^2$) = 0. Сумма остатков: $1 + 0 = 1$.
- Остаток($m^2$) = 1, Остаток($n^2$) = 1. Сумма остатков: $1 + 1 = 2$.

По условию задачи, сумма $m^2 + n^2$ делится на 3, значит, остаток от ее деления на 3 равен 0. Из всех перечисленных выше вариантов, это возможно только в первом случае, когда остатки от деления на 3 для $m^2$ и $n^2$ оба равны нулю. Это означает, что и $m^2$, и $n^2$ должны делиться на 3.

Из нашего первоначального анализа мы знаем, что квадрат числа $k^2$ делится на 3 тогда и только тогда, когда само число k делится на 3.

Следовательно, раз $m^2$ делится на 3, то и число m делится на 3. Аналогично, раз $n^2$ делится на 3, то и число n делится на 3.

Таким образом, мы доказали, что если $m^2 + n^2$ делится на 3, то и m, и n также делятся на 3. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если сумма квадратов двух натуральных чисел $m^2 + n^2$ делится на 3, то это возможно только в том случае, когда каждое из чисел, m и n, по отдельности делится на 3.