Страница 69 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

206. Найти $A \setminus B$ и $B \setminus A$, если:

1) $A = \{4; 5; 6\}$, $B = \{-5; -4; -3; -2\};$

2) $A = \{1; 2; 3\}$, $B = \{-1; 0; 1\};$

3) $A = \{-1; 0; 1; 2; 3\}$, $B = \{1; 2; 3\};$

4) $A = \{5; 6; 7\}$, $B = \{-5,5; -6; 6\}.$

1) Даны множества $A = \{4; 5; 6\}$ и $B = \{-5; -4; -3; -2\}$.

Разность множеств $A \setminus B$ (читается "А минус В") — это множество, состоящее из всех элементов множества $A$, которые не принадлежат множеству $B$.

Чтобы найти $A \setminus B$, мы должны взять все элементы из $A$ и убрать из них те, которые также есть в $B$.

Сравниваем элементы множеств $A$ и $B$. Видно, что у них нет общих элементов, то есть их пересечение пусто: $A \cap B = \emptyset$.

Поскольку ни один элемент из $A$ не содержится в $B$, разность $A \setminus B$ будет равна самому множеству $A$.

$A \setminus B = \{4; 5; 6\}$.

Аналогично, разность множеств $B \setminus A$ — это множество, состоящее из всех элементов множества $B$, которые не принадлежат множеству $A$.

Так как общих элементов нет, то из $B$ ничего не удаляется.

$B \setminus A = \{-5; -4; -3; -2\}$.

Ответ: $A \setminus B = \{4; 5; 6\}$; $B \setminus A = \{-5; -4; -3; -2\}$.

2) Даны множества $A = \{1; 2; 3\}$ и $B = \{-1; 0; 1\}$.

Чтобы найти $A \setminus B$, нужно из множества $A$ удалить все элементы, которые также содержатся в множестве $B$.

Находим общие элементы для множеств $A$ и $B$. Таким элементом является число 1.

Удаляем элемент 1 из множества $A$: $\{1; 2; 3\} \setminus \{1\} = \{2; 3\}$.

Таким образом, $A \setminus B = \{2; 3\}$.

Чтобы найти $B \setminus A$, нужно из множества $B$ удалить все элементы, которые также содержатся в множестве $A$.

Общий элемент — 1.

Удаляем элемент 1 из множества $B$: $\{-1; 0; 1\} \setminus \{1\} = \{-1; 0\}$.

Таким образом, $B \setminus A = \{-1; 0\}$.

Ответ: $A \setminus B = \{2; 3\}$; $B \setminus A = \{-1; 0\}$.

3) Даны множества $A = \{-1; 0; 1; 2; 3\}$ и $B = \{1; 2; 3\}$.

Находим $A \setminus B$. Для этого из множества $A$ исключаем элементы, принадлежащие множеству $B$.

Общие элементы: 1, 2, 3.

Исключаем их из множества $A$: $\{-1; 0; 1; 2; 3\} \setminus \{1; 2; 3\} = \{-1; 0\}$.

Следовательно, $A \setminus B = \{-1; 0\}$.

Находим $B \setminus A$. Для этого из множества $B$ исключаем элементы, принадлежащие множеству $A$.

Все элементы множества $B$ (1, 2, 3) также содержатся в множестве $A$ (здесь $B$ является подмножеством $A$, $B \subset A$).

Исключаем их из множества $B$: $\{1; 2; 3\} \setminus \{1; 2; 3\} = \emptyset$.

Следовательно, $B \setminus A = \emptyset$ (пустое множество).

Ответ: $A \setminus B = \{-1; 0\}$; $B \setminus A = \emptyset$.

4) Даны множества $A = \{5; 6; 7\}$ и $B = \{-5.5; -6; 6\}$.

Находим $A \setminus B$. Из множества $A$ удаляем общие с $B$ элементы.

Сравниваем элементы множеств. Общий элемент множеств $A$ и $B$ — это число 6.

Удаляем 6 из $A$: $\{5; 6; 7\} \setminus \{6\} = \{5; 7\}$.

Значит, $A \setminus B = \{5; 7\}$.

Находим $B \setminus A$. Из множества $B$ удаляем общие с $A$ элементы.

Общий элемент — 6.

Удаляем 6 из $B$: $\{-5.5; -6; 6\} \setminus \{6\} = \{-5.5; -6\}$.

Значит, $B \setminus A = \{-5.5; -6\}$.

Ответ: $A \setminus B = \{5; 7\}$; $B \setminus A = \{-5.5; -6\}$.

207. Зная, что $N$ — множество натуральных, $Z$ — множество целых, $Q$ — множество рациональных, $R$ — множество действительных чисел, найти:

1) $Q \setminus Z$;

2) $R \setminus Q$;

3) $Q \setminus N$;

4) $R \setminus Z$.

В задаче используются следующие обозначения числовых множеств:
$N$ – множество натуральных чисел: $\{1, 2, 3, ...\}$.
$Z$ – множество целых чисел: $\{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$.
$Q$ – множество рациональных чисел, то есть чисел, представимых в виде дроби $m/n$, где $m \in Z, n \in N$.
$R$ – множество действительных чисел, включающее в себя рациональные и иррациональные числа.
Операция $A \setminus B$ (или $A \backslash B$) означает разность множеств, то есть множество, состоящее из всех элементов множества $A$, которые не принадлежат множеству $B$.

1) Q \ Z;

Требуется найти разность множества рациональных чисел $Q$ и множества целых чисел $Z$. Множество рациональных чисел $Q$ включает в себя все целые числа (например, $5 = 5/1$) и все дробные числа (например, $1/2, -3/4$). Поскольку множество целых чисел $Z$ является подмножеством множества рациональных чисел ($Z \subset Q$), при вычитании $Z$ из $Q$ мы удаляем все целые числа. В результате остаются только те рациональные числа, которые не являются целыми.
Ответ: множество дробных рациональных чисел.

2) R \ Q;

Требуется найти разность множества действительных чисел $R$ и множества рациональных чисел $Q$. По определению, множество действительных чисел $R$ состоит из объединения множества рациональных чисел $Q$ и множества иррациональных чисел (чисел, которые не могут быть представлены в виде дроби, например $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$). Таким образом, если из множества всех действительных чисел $R$ исключить все рациональные числа $Q$, останется в точности множество иррациональных чисел.
Ответ: множество иррациональных чисел.

3) Q \ N;

Требуется найти разность множества рациональных чисел $Q$ и множества натуральных чисел $N$. Множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, ...\}$ является подмножеством множества рациональных чисел $Q$. При вычитании $N$ из $Q$ мы удаляем из рациональных чисел все положительные целые числа. В результирующем множестве останутся все остальные рациональные числа: отрицательные целые числа (..., -3, -2, -1), ноль (0) и все дробные рациональные числа (как положительные, так и отрицательные).
Ответ: множество всех рациональных чисел, которые не являются натуральными (то есть все отрицательные целые числа, ноль и все дробные числа).

4) R \ Z.

Требуется найти разность множества действительных чисел $R$ и множества целых чисел $Z$. Множество целых чисел $Z$ является подмножеством множества действительных чисел $R$. При вычитании $Z$ из $R$ мы удаляем из действительных чисел все целые числа (положительные, отрицательные и ноль). В результате остаются все действительные числа, которые не являются целыми. Это множество включает в себя все дробные рациональные числа (например, $1/2, -5.75$) и все иррациональные числа (например, $\sqrt{3}, \pi$).
Ответ: множество всех действительных чисел, не являющихся целыми (то есть множество, состоящее из всех дробных рациональных и всех иррациональных чисел).

208. Найти $A \cap B, A \cup B$, если:

1) $A = \{a; b; c\}, B = \{a; b\};$

2) $A = \{a; b; c\}, B = \{c; d\};$

3) $A = \{a; b\}, B = \emptyset;$

4) $A = \{a\}, B = \{c; d; e\}.$

1) Даны множества $A = \{a; b; c\}$ и $B = \{a; b\}$.

Пересечение множеств $A \cap B$ — это множество, содержащее элементы, которые принадлежат и множеству $A$, и множеству $B$ одновременно. В данном случае общими элементами являются a и b. Следовательно, $A \cap B = \{a; b\}$.

Объединение множеств $A \cup B$ — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств (либо $A$, либо $B$, либо обоим). Собираем все уникальные элементы из обоих множеств: a, b, c. Следовательно, $A \cup B = \{a; b; c\}$.

Ответ: $A \cap B = \{a; b\}$, $A \cup B = \{a; b; c\}$.

2) Даны множества $A = \{a; b; c\}$ и $B = \{c; d\}$.

Для нахождения пересечения $A \cap B$ ищем общие элементы. Единственный элемент, который есть в обоих множествах, — это c. Следовательно, $A \cap B = \{c\}$.

Для нахождения объединения $A \cup B$ собираем все уникальные элементы из $A$ и $B$. Это элементы a, b, c, d. Следовательно, $A \cup B = \{a; b; c; d\}$.

Ответ: $A \cap B = \{c\}$, $A \cup B = \{a; b; c; d\}$.

3) Даны множества $A = \{a; b\}$ и $B = \emptyset$ (пустое множество).

Пересечение множества $A$ с пустым множеством $B$ не содержит никаких элементов, так как в пустом множестве нет элементов, которые могли бы быть общими. Следовательно, $A \cap B = \emptyset$.

Объединение множества $A$ с пустым множеством $B$ содержит все элементы множества $A$, так как в $B$ нет новых элементов для добавления. Следовательно, $A \cup B = \{a; b\}$.

Ответ: $A \cap B = \emptyset$, $A \cup B = \{a; b\}$.

4) Даны множества $A = \{a\}$ и $B = \{c; d; e\}$.

Для нахождения пересечения $A \cap B$ ищем общие элементы. В множествах $A$ и $B$ нет общих элементов. Такие множества называются непересекающимися. Следовательно, их пересечение — пустое множество: $A \cap B = \emptyset$.

Для нахождения объединения $A \cup B$ собираем все уникальные элементы из обоих множеств. Это элементы a, c, d, e. Следовательно, $A \cup B = \{a; c; d; e\}$.

Ответ: $A \cap B = \emptyset$, $A \cup B = \{a; c; d; e\}$.

209. Найти $A \cap B$ и $A \cup B$ для множеств, указанных в упражнении 206.

Для решения задачи 209 необходимо найти пересечение ($A \cap B$) и объединение ($A \cup B$) множеств A и B из упражнения 206. Пересечение множеств содержит элементы, принадлежащие обоим множествам одновременно. Объединение множеств содержит все элементы, принадлежащие хотя бы одному из этих множеств.

Предположим, что в упражнении 206 множества заданы следующим образом:

а) $A = \{x \mid x \in \mathbb{N}, x < 10\}$, $B = \{x \mid x \in \mathbb{N}, 3 < x < 12\}$

Сначала определим элементы множеств A и B, перечислив их.

Множество A состоит из натуральных чисел, меньших 10: $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Множество B состоит из натуральных чисел, которые больше 3 и меньше 12: $B = \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$.

Пересечение $A \cap B$ — это множество элементов, которые есть и в A, и в B: $A \cap B = \{4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Объединение $A \cup B$ — это множество всех элементов из A и B без повторений: $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$.

Ответ: $A \cap B = \{4, 5, 6, 7, 8, 9\}$; $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$.

б) $A = \{x \mid x$ — делитель числа 18$\}$, $B = \{x \mid x$ — делитель числа 24$\}$

Определим элементы множеств A и B.

Множество A состоит из натуральных делителей числа 18: $A = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$.

Множество B состоит из натуральных делителей числа 24: $B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$.

Пересечение $A \cap B$ — это множество общих делителей чисел 18 и 24: $A \cap B = \{1, 2, 3, 6\}$.

Объединение $A \cup B$ — это множество всех делителей из A и B без повторений: $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24\}$.

Ответ: $A \cap B = \{1, 2, 3, 6\}$; $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24\}$.

в) $A = \{x \mid x$ — простое число, $x < 20\}$, $B = \{x \mid x$ — нечетное число, $x < 15\}$

Определим элементы множеств A и B.

Множество A состоит из простых чисел, меньших 20: $A = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\}$.

Множество B состоит из нечетных натуральных чисел, меньших 15: $B = \{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13\}$.

Пересечение $A \cap B$ — это множество чисел, которые являются одновременно простыми (меньше 20) и нечетными (меньше 15): $A \cap B = \{3, 5, 7, 11, 13\}$.

Объединение $A \cup B$ — это множество всех элементов из A и B без повторений: $A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19\}$.

Ответ: $A \cap B = \{3, 5, 7, 11, 13\}$; $A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19\}$.

г) $A = \{x \mid x \in \mathbb{Z}, |x| < 4\}$, $B = \{x \mid x \in \mathbb{N}, x^2 < 10\}$

Определим элементы множеств A и B.

Множество A состоит из целых чисел, модуль которых меньше 4: $A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$.

Множество B состоит из натуральных чисел, квадрат которых меньше 10: $1^2=1$, $2^2=4$, $3^2=9$, $4^2=16$. Подходят числа 1, 2, 3. $B = \{1, 2, 3\}$.

Пересечение $A \cap B$ — это множество элементов, которые есть и в A, и в B: $A \cap B = \{1, 2, 3\}$.

Объединение $A \cup B$ — это множество всех элементов из A и B без повторений: $A \cup B = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$.

Ответ: $A \cap B = \{1, 2, 3\}$; $A \cup B = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$.

210. Найти пересечение и объединение отрезков $ [1; 7] $ и $ [5; 8] $.

Даны два числовых отрезка: $[1; 7]$ и $[5; 8]$. Найдём их пересечение и объединение.

Пересечение

Пересечением двух отрезков является множество всех точек, которые принадлежат каждому из этих отрезков. Для нахождения пересечения отрезков $[a; b]$ и $[c; d]$ нужно найти новый отрезок $[\max(a, c); \min(b, d)]$.

В нашем случае даны отрезки $[1; 7]$ и $[5; 8]$.

Найдём левую границу пересечения. Это будет максимальное из левых границ данных отрезков:
$ \max(1, 5) = 5 $

Найдём правую границу пересечения. Это будет минимальное из правых границ данных отрезков:
$ \min(7, 8) = 7 $

Таким образом, пересечением отрезков $[1; 7]$ и $[5; 8]$ является отрезок $[5; 7]$.
Математическая запись: $ [1; 7] \cap [5; 8] = [5; 7] $.

Ответ: $[5; 7]$.

Объединение

Объединением двух отрезков является множество всех точек, которые принадлежат хотя бы одному из этих отрезков. Если отрезки пересекаются или соприкасаются, их объединением будет новый, больший отрезок.

В нашем случае отрезки $[1; 7]$ и $[5; 8]$ пересекаются (у них есть общая часть $[5; 7]$), поэтому их объединение будет сплошным отрезком.

Найдём левую границу объединения. Это будет минимальное из левых границ данных отрезков:
$ \min(1, 5) = 1 $

Найдём правую границу объединения. Это будет максимальное из правых границ данных отрезков:
$ \max(7, 8) = 8 $

Таким образом, объединением отрезков $[1; 7]$ и $[5; 8]$ является отрезок $[1; 8]$.
Математическая запись: $ [1; 7] \cup [5; 8] = [1; 8] $.

Ответ: $[1; 8]$.

211. Найти пересечение и объединение отрезков $[0; 3]$ и $[5; 7]$.

Для решения задачи рассмотрим два заданных отрезка на числовой прямой: $A = [0; 3]$ и $B = [5; 7]$.

Отрезок $A$ представляет собой множество всех действительных чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $0 \le x \le 3$.

Отрезок $B$ представляет собой множество всех действительных чисел $y$, удовлетворяющих неравенству $5 \le y \le 7$.

Пересечение

Пересечением двух множеств (в данном случае, отрезков) называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат одновременно обоим исходным множествам. Пересечение обозначается символом $\cap$. Нам необходимо найти $[0; 3] \cap [5; 7]$.

Чтобы найти общие элементы, сравним отрезки. Первый отрезок $[0; 3]$ заканчивается в точке 3, а второй отрезок $[5; 7]$ начинается в точке 5. Поскольку $3 < 5$, у этих двух отрезков нет общих точек.

Следовательно, их пересечение является пустым множеством, которое обозначается символом $\emptyset$.

Ответ: $[0; 3] \cap [5; 7] = \emptyset$.

Объединение

Объединением двух множеств называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. Объединение обозначается символом $\cup$. Нам необходимо найти $[0; 3] \cup [5; 7]$.

Объединение включает в себя все числа из отрезка $[0; 3]$ и все числа из отрезка $[5; 7]$. Так как отрезки не пересекаются и между ними есть разрыв (интервал $(3; 5)$), их объединение нельзя записать в виде одного непрерывного отрезка.

Поэтому объединение этих двух отрезков так и записывается с помощью знака объединения.

Ответ: $[0; 3] \cup [5; 7]$.

212. Записать пересечение и объединение множества корней уравнения $x^2 + 9x - 10 = 0$ с множеством корней уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$.

Для решения задачи сначала найдем множества корней каждого из данных квадратных уравнений.

Первое уравнение: $x^2 + 9x - 10 = 0$.

Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 81 + 40 = 121$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{-9 \pm 11}{2}$.

$x_1 = \frac{-9 - 11}{2} = -10$

$x_2 = \frac{-9 + 11}{2} = 1$

Таким образом, множество корней первого уравнения, обозначим его $A$, есть $A = \{-10, 1\}$.

Второе уравнение: $x^2 - 3x + 2 = 0$.

Решим его также через дискриминант.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$.

$x_1 = \frac{3 - 1}{2} = 1$

$x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2$

Таким образом, множество корней второго уравнения, обозначим его $B$, есть $B = \{1, 2\}$.

Теперь, имея множества $A = \{-10, 1\}$ и $B = \{1, 2\}$, найдем их пересечение и объединение.

пересечение

Пересечение множеств ($A \cap B$) состоит из элементов, которые принадлежат обоим множествам одновременно. Сравнивая $A$ и $B$, видим, что единственным общим элементом является $1$.

Ответ: $\{1\}$

объединение

Объединение множеств ($A \cup B$) состоит из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Объединив все элементы из $A$ и $B$ и убрав дубликаты, получаем множество $\{-10, 1, 2\}$.

Ответ: $\{-10, 1, 2\}$

213.Записать решение неравенства $x^2 - 7x + 6 \ge 0$, используя символику теории множеств.

Чтобы решить квадратное неравенство $x^2 - 7x + 6 \ge 0$, мы сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$. Это позволит нам определить, где квадратный трехчлен равен нулю.

Для нахождения корней воспользуемся формулой корней квадратного уравнения через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25$
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 5}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 5}{2} = 6$
(Также можно было использовать теорему Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 7$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 6$, откуда корни $1$ и $6$.)

Корни $x=1$ и $x=6$ – это точки, в которых парабола $y = x^2 - 7x + 6$ пересекает ось абсцисс. Так как коэффициент при $x^2$ равен $1$ (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Неравенство $x^2 - 7x + 6 \ge 0$ выполняется там, где график функции находится на оси абсцисс или выше нее. Для параболы с ветвями вверх это происходит на двух участках: слева от меньшего корня и справа от большего корня.

Таким образом, решение неравенства можно записать как совокупность двух условий: $x \le 1$ или $x \ge 6$.

Теперь запишем это решение, используя символику теории множеств. Множество решений $X$ можно представить несколькими способами.

1. В виде объединения числовых промежутков:
$X = (-\infty, 1] \cup [6, \infty)$

2. С помощью характеристического свойства (нотация построения множества):
$X = \{x \mid x \in \mathbb{R} \text{ и } (x \le 1 \text{ или } x \ge 6)\}$
Используя логический символ дизъюнкции ("или", $\lor$), запись становится более краткой:
$X = \{x \in \mathbb{R} \mid (x \le 1) \lor (x \ge 6)\}$

Оба формата являются корректной записью решения с использованием символики теории множеств.

Ответ: $(-\infty, 1] \cup [6, \infty)$ или $\{x \in \mathbb{R} \mid x \le 1 \lor x \ge 6\}$.

214. Записать множество $A$ натуральных делителей числа 18 и множество $B$ натуральных делителей числа 45. Найти $A \cap B$. Чем по отношению к числам 18 и 45 является наибольшее из чисел, принадлежащих множеству $A \cap B$?

Записать множество A натуральных делителей числа 18

Натуральные делители числа — это натуральные числа, на которые данное число делится без остатка. Для числа 18 найдем все его натуральные делители:

• $18 \div 1 = 18$
• $18 \div 2 = 9$
• $18 \div 3 = 6$
• $18 \div 6 = 3$
• $18 \div 9 = 2$
• $18 \div 18 = 1$

Записав делители в порядке возрастания, получаем множество $A$.
Ответ: $A = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$.

Записать множество B натуральных делителей числа 45

Аналогично найдем все натуральные делители для числа 45:

• $45 \div 1 = 45$
• $45 \div 3 = 15$
• $45 \div 5 = 9$
• $45 \div 9 = 5$
• $45 \div 15 = 3$
• $45 \div 45 = 1$

Записав делители в порядке возрастания, получаем множество $B$.
Ответ: $B = \{1, 3, 5, 9, 15, 45\}$.

Найти A ∩ B

Пересечение множеств $A \cap B$ содержит элементы, которые принадлежат одновременно и множеству $A$, и множеству $B$. Сравним элементы множеств:
$A = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$
$B = \{1, 3, 5, 9, 15, 45\}$
Общими элементами являются числа 1, 3 и 9. Таким образом, пересечение этих множеств есть множество, состоящее из этих элементов.
Ответ: $A \cap B = \{1, 3, 9\}$.

Чем по отношению к числам 18 и 45 является наибольшее из чисел, принадлежащих множеству A ∩ B?

Множество $A \cap B = \{1, 3, 9\}$ является множеством общих натуральных делителей чисел 18 и 45. Наибольшее число, принадлежащее этому множеству, — это 9.
По определению, наибольшее число, на которое без остатка делятся два данных числа, называется их наибольшим общим делителем (НОД). Следовательно, число 9 является наибольшим общим делителем чисел 18 и 45.
Ответ: Наибольшее из чисел, принадлежащих множеству $A \cap B$, является наибольшим общим делителем (НОД) чисел 18 и 45.

215. Пусть C — множество чисел, кратных числу 18 (очевидно, оно бесконечно), а D — множество чисел, кратных числу 45. Охарактеризовать элементы множества $C \cap D$. Как называется наименьшее из чисел, являющееся элементом множества $C \cap D$?

Охарактеризовать элементы множества C ∩ D

По условию, множество $C$ состоит из чисел, кратных 18, а множество $D$ — из чисел, кратных 45. Пересечение множеств $C \cap D$ содержит элементы, которые принадлежат и множеству $C$, и множеству $D$ одновременно. Это означает, что каждый элемент множества $C \cap D$ должен быть кратен как 18, так и 45. Такие числа называются общими кратными чисел 18 и 45.

Чтобы найти все общие кратные, сначала найдем наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел. Для этого разложим числа 18 и 45 на простые множители:

$18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$

$45 = 5 \cdot 9 = 3^2 \cdot 5$

Наименьшее общее кратное находится путем перемножения всех простых множителей, входящих в разложения, взятых в наибольшей степени:

$НОК(18, 45) = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 2 \cdot 9 \cdot 5 = 90$

Любое общее кратное чисел 18 и 45 будет кратно их наименьшему общему кратному, то есть 90. Следовательно, множество $C \cap D$ состоит из всех чисел, кратных 90.

Ответ: Элементы множества $C \cap D$ — это все числа, кратные 90.

Как называется наименьшее из чисел, являющееся элементом множества C ∩ D?

Как мы установили выше, множество $C \cap D$ состоит из общих кратных чисел 18 и 45. Наименьшее натуральное число, которое является элементом этого множества, — это по определению наименьшее общее кратное (НОК) чисел 18 и 45. Мы уже вычислили его значение, оно равно 90.

Ответ: Наименьшее из таких чисел называется наименьшим общим кратным (НОК).

216. Найти $A \cap B$, если

$A = \{x : |x| < 5, x \in \mathbb{Z}\}$ и $B = \{x : |x - 1| < 7, x \in \mathbb{N}\}$.

Для того чтобы найти пересечение множеств $A \cap B$, необходимо сначала определить все элементы, принадлежащие каждому из этих множеств, а затем найти общие для них элементы.

Найдем элементы множества A

Множество $A$ определено как $A = \{x : |x| < 5, x \in \mathbb{Z}\}$. Это множество всех целых чисел $x$, модуль которых меньше 5.

Неравенство $|x| < 5$ равносильно двойному неравенству $-5 < x < 5$.

Поскольку $x$ является целым числом ($x \in \mathbb{Z}$), нам нужно перечислить все целые числа, которые находятся в интервале от -5 до 5, не включая концы интервала.

Эти числа: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Таким образом, множество $A$ имеет вид: $A = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$.

Найдем элементы множества B

Множество $B$ определено как $B = \{x : |x - 1| < 7, x \in \mathbb{N}\}$. Это множество всех натуральных чисел $x$, для которых модуль разности $x-1$ меньше 7.

Неравенство $|x - 1| < 7$ равносильно двойному неравенству $-7 < x - 1 < 7$.

Чтобы найти $x$, прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$-7 + 1 < x < 7 + 1$

$-6 < x < 8$.

Поскольку $x$ является натуральным числом ($x \in \mathbb{N}$), нам нужно перечислить все натуральные числа (целые положительные числа), которые находятся в интервале от -6 до 8.

Эти числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Таким образом, множество $B$ имеет вид: $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$.

Найдем пересечение множеств A и B

Пересечение множеств $A \cap B$ — это множество, состоящее из элементов, которые принадлежат одновременно и множеству $A$, и множеству $B$.

Сравним элементы множеств:

$A = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$

$B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$

Общими элементами для обоих множеств являются 1, 2, 3, 4.

Следовательно, пересечение множеств $A$ и $B$ равно $\{1, 2, 3, 4\}$.

Ответ: $A \cap B = \{1, 2, 3, 4\}$.

217. Найти $A \cup B$, если $A=\{x : x^2 - 6x + 9 \le 0\}$ и $B=\{x : |x| \le 1, x \in \mathbb{Z}\}$.

Для того чтобы найти объединение множеств $A \cup B$, необходимо сначала определить, какие элементы входят в каждое из этих множеств.

Нахождение элементов множества A

Множество A задано неравенством $x^2 - 6x + 9 \le 0$. Выражение в левой части можно свернуть по формуле квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

$x^2 - 6x + 9 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x - 3)^2$

Таким образом, исходное неравенство принимает вид:

$(x - 3)^2 \le 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x-3)^2 \ge 0$. Следовательно, неравенство $(x - 3)^2 \le 0$ может выполняться только в одном-единственном случае, когда $(x - 3)^2 = 0$.

Решим это уравнение:

$x - 3 = 0$

$x = 3$

Значит, множество A состоит из одного элемента: $A = \{3\}$.

Нахождение элементов множества B

Множество B задано условиями $|x| \le 1$ и $x \in \mathbb{Z}$ (x является целым числом).

Неравенство с модулем $|x| \le 1$ равносильно двойному неравенству:

$-1 \le x \le 1$

Так как $x$ должен быть целым числом ($x \in \mathbb{Z}$), мы должны выбрать все целые числа из промежутка $[-1, 1]$. Такими числами являются -1, 0 и 1.

Следовательно, множество B состоит из трех элементов: $B = \{-1, 0, 1\}$.

Нахождение объединения множеств $A \cup B$

Объединение множеств $A \cup B$ — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству A, или множеству B, или обоим множествам одновременно.

$A = \{3\}$

$B = \{-1, 0, 1\}$

Объединяя все элементы из A и B, получаем:

$A \cup B = \{-1, 0, 1, 3\}$

Ответ: $A \cup B = \{-1, 0, 1, 3\}$.

218. Найти $A \cup B \cup C$ и $A \cap B \cap C$, если:

1) $A = \{-2; -1; 0; 1; 2; 3\}$, $B = \{-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5\}$,

$C = \{0; 1; 2; 3; 4; -1; -2; -3\}$;

2) $A = \{x : x \le 1\}$, $B = \{x: -1 \le x \le 1, x \in \mathbb{Z}\}$,

$C = \{x : -2 \le x \le 0\}$.

1)

Даны множества:
$A = \{-2; -1; 0; 1; 2; 3\}$
$B = \{-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5\}$
$C = \{0; 1; 2; 3; 4; -1; -2; -3\}$
Для удобства упорядочим элементы множества $C$: $C = \{-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4\}$.

Найдем объединение $A \cup B \cup C$
Объединение множеств — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. Для нахождения объединения $A \cup B \cup C$ мы должны собрать все уникальные элементы из всех трех множеств.
Элементы множества $A$: $\{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$.
Добавляем уникальные элементы из множества $B$: $\{4, 5\}$.
Добавляем уникальные элементы из множества $C$: $\{-3\}$.
Собирая все эти элементы вместе и располагая их в порядке возрастания, получаем:
$A \cup B \cup C = \{-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5\}$.

Найдем пересечение $A \cap B \cap C$
Пересечение множеств — это множество, содержащее только те элементы, которые принадлежат одновременно всем исходным множествам. Мы ищем элементы, которые есть и в $A$, и в $B$, и в $C$.
Сравним элементы множеств:
$A = \{-2; -1; 0; 1; 2; 3\}$
$B = \{-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5\}$
$C = \{-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4\}$
Выберем общие для всех трех множеств элементы: $-1, 0, 1, 2, 3$.
Таким образом, пересечение множеств равно:
$A \cap B \cap C = \{-1; 0; 1; 2; 3\}$.

Ответ: $A \cup B \cup C = \{-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5\}$; $A \cap B \cap C = \{-1; 0; 1; 2; 3\}$.

2)

Даны множества, определенные через свойства их элементов:
$A = \{x : x \le 1\}$, то есть это множество всех действительных чисел, не превосходящих 1. В виде числового промежутка это $(-\infty; 1]$.
$B = \{x : -1 \le x \le 1, x \in \mathbb{Z}\}$, где $\mathbb{Z}$ — множество целых чисел. Перечислив элементы, входящие в этот диапазон, получаем $B = \{-1; 0; 1\}$.
$C = \{x : -2 \le x \le 0\}$, то есть это множество всех действительных чисел от -2 до 0 включительно. В виде числового промежутка это отрезок $[-2; 0]$.

Найдем объединение $A \cup B \cup C$
Объединим множества $A$, $B$ и $C$.
Множество $A = (-\infty; 1]$
Множество $B = \{-1; 0; 1\}$
Множество $C = [-2; 0]$
Сначала объединим $A$ и $C$: $A \cup C = (-\infty; 1] \cup [-2; 0]$. Так как отрезок $[-2; 0]$ полностью содержится в луче $(-\infty; 1]$, их объединение равно самому лучу $A = (-\infty; 1]$.
Теперь добавим к результату множество $B$: $(A \cup C) \cup B = A \cup B$. Все элементы множества $B$ (числа $-1, 0, 1$) удовлетворяют условию $x \le 1$, а значит, они уже содержатся в множестве $A$. Таким образом, $B$ является подмножеством $A$ ($B \subset A$). Объединение множества с его подмножеством равно самому множеству.
Следовательно, $A \cup B \cup C = A = \{x : x \le 1\}$.

Найдем пересечение $A \cap B \cap C$
Пересечение содержит элементы, общие для всех трех множеств. Элемент $x$ должен одновременно удовлетворять трем условиям:
1) $x \in A \implies x \le 1$
2) $x \in B \implies x \in \{-1; 0; 1\}$
3) $x \in C \implies -2 \le x \le 0$
Поскольку множество $B$ конечное, удобнее всего проверить каждый его элемент на принадлежность множествам $A$ и $C$.
- Для $x = -1$: Условие $x \le 1$ выполнено ($-1 \le 1$). Условие $-2 \le x \le 0$ выполнено ($-2 \le -1 \le 0$). Значит, $-1$ входит в пересечение.
- Для $x = 0$: Условие $x \le 1$ выполнено ($0 \le 1$). Условие $-2 \le x \le 0$ выполнено ($-2 \le 0 \le 0$). Значит, $0$ входит в пересечение.
- Для $x = 1$: Условие $x \le 1$ выполнено ($1 \le 1$). Условие $-2 \le x \le 0$ не выполнено ($1 > 0$). Значит, $1$ не входит в пересечение.
Таким образом, общими для всех трех множеств являются только элементы $-1$ и $0$.
Следовательно, $A \cap B \cap C = \{-1; 0\}$.

Ответ: $A \cup B \cup C = \{x : x \le 1\}$; $A \cap B \cap C = \{-1; 0\}$.