Номер 1, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Какими способами задаются множества?

Множество в математике можно задать (определить) несколькими основными способами. Вот наиболее распространенные из них:

1. Перечисление (или перечень) всех элементов множества

Этот способ подходит для конечных множеств, особенно если они содержат небольшое количество элементов. Элементы множества записываются в фигурных скобках через запятую или точку с запятой. Порядок перечисления элементов не имеет значения.
Пример 1: Множество гласных букв русского алфавита: $A = \{а, е, ё, и, о, у, ы, э, ю, я\}$.
Пример 2: Множество первых пяти натуральных чисел: $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.
Пример 3: Множество, состоящее из чисел 2, 4 и 6, можно записать как $\{2, 4, 6\}$ или $\{6, 2, 4\}$, это одно и то же множество.
Для некоторых бесконечных множеств, элементы которых образуют очевидную последовательность, используется многоточие.
Пример 4: Множество всех натуральных чисел: $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, ...\}$.

Ответ: Множество задается путем прямого перечисления его элементов в фигурных скобках.

2. Указание характеристического свойства элементов

Этот способ заключается в описании общего свойства, которым обладают все элементы данного множества и не обладают никакие другие элементы. Это наиболее универсальный способ, подходящий как для конечных, так и для бесконечных множеств.
Запись имеет вид $M = \{x \mid P(x)\}$ или $M = \{x : P(x)\}$, что читается как "М — это множество всех таких элементов $x$, для которых истинно утверждение (свойство) $P(x)$".
Пример 1: Множество $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ из предыдущего пункта можно задать свойством: $B = \{n \mid n \in \mathbb{N} \text{ и } 1 \le n \le 5 \}$. (Множество всех натуральных чисел $n$, которые больше или равны 1 и меньше или равны 5).
Пример 2: Множество всех четных целых чисел: $C = \{x \mid x \in \mathbb{Z} \text{ и } x \text{ делится на 2 без остатка}\}$.
Пример 3: Множество решений уравнения $x^2 - 4 = 0$: $D = \{x \mid x \in \mathbb{R} \text{ и } x^2 - 4 = 0\}$. Это множество можно задать и перечислением: $D = \{-2, 2\}$.

Ответ: Множество задается описанием свойства, которому удовлетворяют все его элементы и только они.

3. Порождающая (рекурсивная) процедура

Этот способ определяет множество через:
а) Базис: указание исходных элементов, которые точно принадлежат множеству.
б) Шаг индукции: указание правил (операций), с помощью которых из уже имеющихся элементов можно получать новые элементы множества.
в) Ограничивающее условие: указание, что других элементов, кроме полученных с помощью базиса и шага индукции, в множестве нет.
Пример: Множество $\mathbb{N}_{even}$ четных натуральных чисел можно задать рекурсивно:
1) (Базис) $2 \in \mathbb{N}_{even}$.
2) (Шаг индукции) Если $n \in \mathbb{N}_{even}$, то $(n+2) \in \mathbb{N}_{even}$.
Таким образом, мы получаем последовательно все элементы множества: 2, 4, 6, 8, ...

Ответ: Множество задается через базовые элементы и правила для генерации новых элементов из существующих.

4. Использование стандартных обозначений

Для наиболее важных и часто используемых в математике множеств существуют общепринятые стандартные обозначения.
• $\emptyset$ или $\{\}$ — пустое множество (не содержит ни одного элемента).
• $\mathbb{N}$ — множество натуральных чисел $\{1, 2, 3, ...\}$.
• $\mathbb{Z}$ — множество целых чисел $\{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$.
• $\mathbb{Q}$ — множество рациональных чисел (числа, представимые в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}$).
• $\mathbb{R}$ — множество действительных (вещественных) чисел.
• $\mathbb{C}$ — множество комплексных чисел.

Ответ: Множество задается с помощью общепринятого символа, который его обозначает.

5. Наглядное (графическое) представление

Для наглядного представления множеств и отношений между ними часто используют диаграммы Эйлера-Венна. Множество изображается в виде некоторой фигуры на плоскости (обычно круга или овала), а его элементы — точками внутри этой фигуры. Этот способ не является строгим математическим определением, но очень полезен для иллюстрации и решения задач.

Ответ: Множество изображается графически, обычно в виде круга на диаграмме Эйлера-Венна, для наглядной демонстрации.