Номер 191, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

191. Три числа, сумма которых равна 78, образуют возрастающую геометрическую прогрессию. Эти же три числа являются первым, третьим и девятым членами некоторой арифметической прогрессии. Найти большее из этих чисел.

Пусть три искомых числа, образующие возрастающую геометрическую прогрессию, равны $b_1$, $b_2$ и $b_3$. Обозначим первый член этой прогрессии как $b$, а знаменатель как $q$. Так как прогрессия возрастающая, то $q > 1$. Тогда эти числа можно записать в виде: $b$, $bq$, $bq^2$.

По первому условию задачи, сумма этих чисел равна 78: $b + bq + bq^2 = 78$
Вынесем $b$ за скобки: $b(1 + q + q^2) = 78$ (1)

По второму условию, эти же три числа являются первым, третьим и девятым членами некоторой арифметической прогрессии. Обозначим первый член арифметической прогрессии как $a_1$, а ее разность как $d$. Тогда:
$b_1 = b = a_1$
$b_2 = bq = a_3 = a_1 + 2d$
$b_3 = bq^2 = a_9 = a_1 + 8d$

Используем свойство членов арифметической прогрессии. Разность между $a_3$ и $a_1$ равна $2d$, а разность между $a_9$ и $a_3$ равна $6d$.
$a_3 - a_1 = (a_1 + 2d) - a_1 = 2d$
$a_9 - a_3 = (a_1 + 8d) - (a_1 + 2d) = 6d$

Отсюда следует, что $(a_9 - a_3) = 3(a_3 - a_1)$.
Теперь подставим в это соотношение наши числа из геометрической прогрессии:
$bq^2 - bq = 3(bq - b)$

Вынесем общие множители за скобки в левой и правой частях уравнения:
$bq(q - 1) = 3b(q - 1)$

Поскольку геометрическая прогрессия является возрастающей, ее знаменатель $q \ne 1$, а первый член $b$ не может быть равен нулю (иначе все числа были бы нулями, а их сумма не равнялась бы 78). Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $b(q-1)$:
$q = 3$

Теперь, зная знаменатель геометрической прогрессии, мы можем найти ее первый член, подставив значение $q=3$ в уравнение (1):
$b(1 + 3 + 3^2) = 78$
$b(1 + 3 + 9) = 78$
$b(13) = 78$
$b = \frac{78}{13}$
$b = 6$

Теперь найдем все три числа:
Первое число: $b_1 = b = 6$
Второе число: $b_2 = bq = 6 \times 3 = 18$
Третье число: $b_3 = bq^2 = 6 \times 3^2 = 6 \times 9 = 54$

Таким образом, мы получили числа 6, 18, 54. Проверим, удовлетворяют ли они условиям задачи.
1. Сумма чисел: $6 + 18 + 54 = 78$. Условие выполнено.
2. Это возрастающая геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{18}{6} = \frac{54}{18} = 3$. Условие выполнено.
3. Являются ли они первым, третьим и девятым членами арифметической прогрессии? Пусть $a_1 = 6$. Тогда $a_3 = 18$, откуда $a_1 + 2d = 18 \Rightarrow 6 + 2d = 18 \Rightarrow 2d = 12 \Rightarrow d = 6$. Проверим девятый член: $a_9 = a_1 + 8d = 6 + 8 \times 6 = 6 + 48 = 54$. Условие выполнено.

Все условия задачи выполнены. Искомые числа: 6, 18, 54. Наибольшее из этих чисел — 54.

Ответ: 54