Номер 190, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

190. Три различных числа $x, y, z$ образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию, а числа $x, 2y, 3z$ образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Найти знаменатель геометрической прогрессии.

По условию, три различных числа $x, y, z$ образуют геометрическую прогрессию. Обозначим знаменатель этой прогрессии буквой $q$. Тогда, по определению геометрической прогрессии, её члены связаны следующими соотношениями:
$y = xq$
$z = yq = (xq)q = xq^2$

В условии сказано, что числа $x, y, z$ различны. Это накладывает ограничение на знаменатель $q$. Если бы $q=1$, то $y = x \cdot 1 = x$ и $z = x \cdot 1^2 = x$, то есть все три числа были бы равны. Это противоречит условию, следовательно, $q \neq 1$. Также стоит отметить, что если $x=0$, то и $y=0$, $z=0$, что также противоречит условию о различных числах, поэтому $x \neq 0$.

Также по условию числа $x, 2y, 3z$ образуют арифметическую прогрессию. Характеристическое свойство арифметической прогрессии гласит, что каждый член, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и последующего членов. В данном случае это означает, что второй член $2y$ является средним арифметическим первого ($x$) и третьего ($3z$) членов:
$2y = \frac{x + 3z}{2}$

Умножим обе части этого равенства на 2, чтобы избавиться от дроби:
$4y = x + 3z$

Теперь в это уравнение подставим выражения для $y$ и $z$ через $x$ и $q$, которые мы получили из свойства геометрической прогрессии:
$4(xq) = x + 3(xq^2)$

Поскольку $x \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $x$:
$4q = 1 + 3q^2$

Перенесём все члены в одну часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно $q$:
$3q^2 - 4q + 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$
Теперь найдем корни уравнения:
$q_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$q_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Мы получили два возможных значения для знаменателя $q$: $\frac{1}{3}$ и $1$. Как мы установили в самом начале, значение $q=1$ не подходит, так как в этом случае числа $x, y, z$ не были бы различными.
Следовательно, единственно верным решением является $q = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$