Номер 183, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

183. Найти $b_1$ геометрической прогрессии, если:

1) $q = \frac{1}{2}$, $S_6 = -15\frac{3}{4}$;

2) $q = -\frac{1}{2}$, $S_5 = 4\frac{1}{8}$.

Для нахождения первого члена геометрической прогрессии $b_1$ используется формула суммы первых $n$ членов прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

Из этой формулы можно выразить $b_1$:

$b_1 = \frac{S_n(1-q)}{1-q^n}$

По условию дано: знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{2}$, сумма первых шести членов $S_6 = -15\frac{3}{4}$, количество членов $n=6$.

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$S_6 = -15\frac{3}{4} = -\frac{15 \times 4 + 3}{4} = -\frac{63}{4}$

Теперь подставим известные значения в формулу для $b_1$:

$b_1 = \frac{S_6(1-q)}{1-q^6} = \frac{-\frac{63}{4}(1-\frac{1}{2})}{1-(\frac{1}{2})^6}$

Выполним вычисления по шагам.

Вычислим выражение в числителе:

$-\frac{63}{4}(1-\frac{1}{2}) = -\frac{63}{4} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{63}{8}$

Вычислим выражение в знаменателе:

$1-(\frac{1}{2})^6 = 1 - \frac{1}{64} = \frac{64}{64} - \frac{1}{64} = \frac{63}{64}$

Теперь найдем $b_1$, разделив числитель на знаменатель:

$b_1 = \frac{-\frac{63}{8}}{\frac{63}{64}} = -\frac{63}{8} \cdot \frac{64}{63}$

Сокращаем дроби:

$b_1 = -\frac{64}{8} = -8$

Ответ: $b_1 = -8$.

По условию дано: знаменатель прогрессии $q = -\frac{1}{2}$, сумма первых пяти членов $S_5 = 4\frac{1}{8}$, количество членов $n=5$.

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$S_5 = 4\frac{1}{8} = \frac{4 \times 8 + 1}{8} = \frac{33}{8}$

Подставим известные значения в формулу для $b_1$:

$b_1 = \frac{S_5(1-q)}{1-q^5} = \frac{\frac{33}{8}(1-(-\frac{1}{2}))}{1-(-\frac{1}{2})^5}$

Выполним вычисления по шагам.

Вычислим выражение в числителе:

$\frac{33}{8}(1-(-\frac{1}{2})) = \frac{33}{8}(1+\frac{1}{2}) = \frac{33}{8} \cdot \frac{3}{2} = \frac{99}{16}$

Вычислим выражение в знаменателе:

$1-(-\frac{1}{2})^5 = 1 - (-\frac{1}{32}) = 1 + \frac{1}{32} = \frac{32}{32} + \frac{1}{32} = \frac{33}{32}$

Теперь найдем $b_1$, разделив числитель на знаменатель:

$b_1 = \frac{\frac{99}{16}}{\frac{33}{32}} = \frac{99}{16} \cdot \frac{32}{33}$

Сокращаем дроби ($99 = 3 \times 33$ и $32 = 2 \times 16$):

$b_1 = \frac{3 \cdot 33}{16} \cdot \frac{2 \cdot 16}{33} = 3 \cdot 2 = 6$

Ответ: $b_1 = 6$.