Номер 178, страница 58 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

178. Найти двенадцатый и первый члены арифметической прогрессии, если:

1) $a_{11} = 13, a_{13} = 7;$

2) $a_{11} = -14, a_{13} = -6.$

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность. Также полезным будет свойство, что любой член арифметической прогрессии является средним арифметическим его соседних членов: $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$.

Дано: $a_{11} = 13$, $a_{13} = 7$.

Сначала найдем двенадцатый член прогрессии, $a_{12}$. Так как члены $a_{11}$, $a_{12}$, $a_{13}$ являются последовательными, $a_{12}$ будет их средним арифметическим:

$a_{12} = \frac{a_{11} + a_{13}}{2} = \frac{13 + 7}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

Теперь найдем разность арифметической прогрессии $d$. Разность можно найти как разницу между любыми двумя последовательными членами:

$d = a_{12} - a_{11} = 10 - 13 = -3$.

Либо используя формулу $a_m = a_n + (m-n)d$:

$a_{13} = a_{11} + (13-11)d$

$7 = 13 + 2d$

$2d = 7 - 13$

$2d = -6$

$d = -3$.

Теперь, зная разность $d$ и одиннадцатый член $a_{11}$, мы можем найти первый член прогрессии $a_1$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$a_{11} = a_1 + (11-1)d$

$13 = a_1 + 10 \cdot (-3)$

$13 = a_1 - 30$

$a_1 = 13 + 30 = 43$.

Таким образом, двенадцатый член прогрессии равен 10, а первый член равен 43.

Ответ: $a_{12} = 10$, $a_1 = 43$.

Дано: $a_{11} = -14$, $a_{13} = -6$.

Аналогично первому пункту, найдем двенадцатый член прогрессии $a_{12}$ как среднее арифметическое $a_{11}$ и $a_{13}$:

$a_{12} = \frac{a_{11} + a_{13}}{2} = \frac{-14 + (-6)}{2} = \frac{-20}{2} = -10$.

Найдем разность арифметической прогрессии $d$:

$d = a_{12} - a_{11} = -10 - (-14) = -10 + 14 = 4$.

Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$, используя $a_{11}$ и $d$:

$a_{11} = a_1 + (11-1)d$

$-14 = a_1 + 10 \cdot 4$

$-14 = a_1 + 40$

$a_1 = -14 - 40 = -54$.

Таким образом, двенадцатый член прогрессии равен -10, а первый член равен -54.

Ответ: $a_{12} = -10$, $a_1 = -54$.