Номер 181, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

181. Найти сумму $n$ первых членов геометрической прогрессии:

1) $-16$, $-4$, $-1$, $\ldots$, если $n = 5$;

2) $\frac{1}{16}$, $-\frac{1}{8}$, $\frac{1}{4}$, $\ldots$, если $n = 6$.

1) Для нахождения суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии используется формула: $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — количество членов.

В данной прогрессии: -16, -4, -1, ...

Первый член прогрессии $b_1 = -16$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-4}{-16} = \frac{1}{4}$.

Количество членов, сумму которых нужно найти, $n=5$.

Подставим известные значения в формулу суммы:

$S_5 = \frac{-16(1 - (\frac{1}{4})^5)}{1 - \frac{1}{4}}$

Сначала вычислим степень знаменателя:

$(\frac{1}{4})^5 = \frac{1^5}{4^5} = \frac{1}{1024}$

Теперь вычислим выражения в скобках в числителе и в знаменателе основной дроби:

$1 - \frac{1}{1024} = \frac{1024}{1024} - \frac{1}{1024} = \frac{1023}{1024}$

$1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Подставим полученные значения обратно в формулу для $S_5$:

$S_5 = \frac{-16 \cdot \frac{1023}{1024}}{\frac{3}{4}} = -16 \cdot \frac{1023}{1024} \cdot \frac{4}{3}$

Сократим полученное выражение:

$S_5 = - \frac{16 \cdot 4 \cdot 1023}{1024 \cdot 3} = - \frac{64 \cdot 1023}{1024 \cdot 3}$

Так как $1024 = 64 \cdot 16$, сократим 64 и 1024:

$S_5 = - \frac{1023}{16 \cdot 3}$

Так как $1023$ делится на $3$ ($1+0+2+3=6$), $1023 \div 3 = 341$:

$S_5 = - \frac{341}{16}$

Ответ: $-\frac{341}{16}$.

2) Используем ту же формулу для суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$.

В данной прогрессии: $\frac{1}{16}, -\frac{1}{8}, \frac{1}{4}, ...$

Первый член прогрессии $b_1 = \frac{1}{16}$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-\frac{1}{8}}{\frac{1}{16}} = -\frac{1}{8} \cdot 16 = -2$.

Количество членов, сумму которых нужно найти, $n=6$.

Подставим значения в формулу суммы:

$S_6 = \frac{\frac{1}{16}(1 - (-2)^6)}{1 - (-2)}$

Вычислим степень знаменателя:

$(-2)^6 = 64$

Теперь вычислим выражения в числителе и знаменателе основной дроби:

$1 - 64 = -63$

$1 - (-2) = 1 + 2 = 3$

Подставим полученные значения обратно в формулу для $S_6$:

$S_6 = \frac{\frac{1}{16} \cdot (-63)}{3} = \frac{1}{16} \cdot \frac{-63}{3}$

Сократим дробь $\frac{-63}{3}$:

$\frac{-63}{3} = -21$

Теперь найдем $S_6$:

$S_6 = \frac{1}{16} \cdot (-21) = -\frac{21}{16}$

Ответ: $-\frac{21}{16}$.