Номер 187, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

187. Найти сумму членов арифметической прогрессии с пятнадцатого члена по двадцать пятый включительно, если $a_n = 2n + 3$.

Задача состоит в том, чтобы найти сумму членов арифметической прогрессии с 15-го по 25-й включительно. Общий член прогрессии задан формулой $a_n = 2n + 3$.

Искомая сумма представляет собой сумму конечной арифметической прогрессии. Для ее вычисления можно использовать формулу суммы арифметической прогрессии: $S = \frac{\text{первый член} + \text{последний член}}{2} \cdot (\text{количество членов})$

Для применения этой формулы нам необходимо найти три величины: значение первого члена в сумме ($a_{15}$), значение последнего члена ($a_{25}$) и общее количество суммируемых членов.

1. Найдем количество членов, сумму которых нужно вычислить. Это все члены с номера 15 по 25 включительно:
Количество членов $n = 25 - 15 + 1 = 11$.

2. Найдем значение первого и последнего членов в искомой последовательности, используя заданную формулу $a_n = 2n + 3$:
Первый член (пятнадцатый): $a_{15} = 2 \cdot 15 + 3 = 30 + 3 = 33$.
Последний член (двадцать пятый): $a_{25} = 2 \cdot 25 + 3 = 50 + 3 = 53$.

3. Теперь подставим все найденные значения в формулу суммы:
$S = \frac{a_{15} + a_{25}}{2} \cdot n = \frac{33 + 53}{2} \cdot 11$

4. Вычислим итоговый результат:
$S = \frac{86}{2} \cdot 11 = 43 \cdot 11 = 473$

Также эту задачу можно решить, найдя сумму первых 25 членов ($S_{25}$) и вычтя из нее сумму первых 14 членов ($S_{14}$).
$a_1 = 2(1) + 3 = 5$. Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = (2 \cdot 2 + 3) - 5 = 7 - 5 = 2$.
$S_{25} = \frac{2a_1 + d(25-1)}{2} \cdot 25 = \frac{2 \cdot 5 + 2 \cdot 24}{2} \cdot 25 = \frac{10 + 48}{2} \cdot 25 = 29 \cdot 25 = 725$.
$S_{14} = \frac{2a_1 + d(14-1)}{2} \cdot 14 = \frac{2 \cdot 5 + 2 \cdot 13}{2} \cdot 14 = \frac{10 + 26}{2} \cdot 14 = 18 \cdot 14 = 252$.
Искомая сумма: $S = S_{25} - S_{14} = 725 - 252 = 473$.
Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: 473.