Номер 189, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

189. Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если сумма первого и четвёртого членов равна 27, а сумма второго и третьего членов равна 18.

Обозначим первый член геометрической прогрессии как $b_1$, а знаменатель как $q$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Согласно условию задачи, имеем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} b_1 + b_4 = 27 \\ b_2 + b_3 = 18\end{cases}$

Выразим члены прогрессии через $b_1$ и $q$:

$b_2 = b_1 \cdot q$

$b_3 = b_1 \cdot q^2$

$b_4 = b_1 \cdot q^3$

Подставим эти выражения в систему уравнений:

$\begin{cases} b_1 + b_1 \cdot q^3 = 27 \\ b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = 18\end{cases}$

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$\begin{cases} b_1(1 + q^3) = 27 & (1) \\ b_1 q(1 + q) = 18 & (2)\end{cases}$

Разделим уравнение (1) на уравнение (2). Заметим, что $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$, иначе суммы не были бы равны 27 и 18. Также $q \neq -1$, иначе левая часть второго уравнения была бы равна нулю.

$\frac{b_1(1 + q^3)}{b_1 q(1 + q)} = \frac{27}{18}$

Сократим $b_1$ и дробь в правой части:

$\frac{1 + q^3}{q(1 + q)} = \frac{3}{2}$

Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, поэтому $1 + q^3 = (1 + q)(1 - q + q^2)$:

$\frac{(1 + q)(1 - q + q^2)}{q(1 + q)} = \frac{3}{2}$

Сократим множитель $(1 + q)$:

$\frac{1 - q + q^2}{q} = \frac{3}{2}$

Решим полученное уравнение относительно $q$. Умножим обе части на $2q$:

$2(1 - q + q^2) = 3q$

$2 - 2q + 2q^2 = 3q$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$2q^2 - 5q + 2 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

Корни уравнения для $q$:

$q_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$q_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Получили два возможных значения для знаменателя прогрессии. Для каждого из них найдем соответствующий первый член $b_1$, используя уравнение (2): $b_1 q(1 + q) = 18$.

Случай 1: $q = 2$

Подставим $q=2$ в уравнение:

$b_1 \cdot 2(1 + 2) = 18$

$b_1 \cdot 2 \cdot 3 = 18$

$6b_1 = 18$

$b_1 = 3$

Первая пара решений: первый член $b_1 = 3$, знаменатель $q = 2$.

Случай 2: $q = \frac{1}{2}$

Подставим $q=1/2$ в уравнение:

$b_1 \cdot \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{2}) = 18$

$b_1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = 18$

$b_1 \cdot \frac{3}{4} = 18$

$b_1 = 18 \cdot \frac{4}{3} = 24$

Вторая пара решений: первый член $b_1 = 24$, знаменатель $q = \frac{1}{2}$.

Проверка:

Для $b_1 = 3, q = 2$ члены прогрессии: 3, 6, 12, 24. Сумма $b_1+b_4 = 3+24=27$, сумма $b_2+b_3 = 6+12=18$. Условия выполнены.

Для $b_1 = 24, q = \frac{1}{2}$ члены прогрессии: 24, 12, 6, 3. Сумма $b_1+b_4 = 24+3=27$, сумма $b_2+b_3 = 12+6=18$. Условия выполнены.

Ответ: первый член равен 3 и знаменатель равен 2, или первый член равен 24 и знаменатель равен $\frac{1}{2}$.